CODE FESTIVAL 2017 qual C F - Three Gluttons（DP）

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DP 好题。

首先考虑如果我们知道 C 吃了哪些寿司，能够还原出多少种符合条件的序列。我们考虑倒着钦定，即，先钦定 A,B,C 三者最后吃的那三个寿司在 \(c\) 中的顺序，显然 C 最后吃的哪个必须在 A,B,C 最后吃的那三个中最先出现，而 A,B 最后吃的那两个寿司的顺序无所谓，有 CAB 和 CBA 两种选择，答案乘以 \(2\)。

再往前一步，我们钦定 A,B,C 倒数第二个吃的那三个寿司在 \(c\)​ 中的顺序，显然 C 倒数第二个吃的寿司必须在 C 最后吃的寿司之前，而剩下两个可以随便塞，具体来说，A 倒数第二个吃的寿司有 \(4\)​ 个空位可以插，B 倒数第二个吃的寿司有 \(5\)​ 个空位可以插，因此答案乘以 \(4\times 5=20\)。

倘若我们再往前推，那么也能得到 C 倒数第三个吃的寿司必须在 C 倒数第二个吃的寿司之前，而 A,B 倒数第三个吃的寿司可以随便插，方案数 \(8\times 7\)，倒数第四个吃的寿司也有类似的性质，方案数 \(11\times 10\)……

通过上面的分析我们不难发现，如果确定了 C 吃了哪些寿司，那么合法的序列 \(c\) 可以用一个连乘的形式表示：\(\prod\limits_{i=1}^n(3i-1)(3i-2)\)，也就是说我们只用关心有多少种 C 吃寿司的序列，最后答案乘以 \(\prod\limits_{i=1}^n(3i-1)(3i-2)\) 即可。

考虑如何求出有多少种 C 吃寿司的序列，我们假设 A,B 吃寿司在 \(a,b\) 中的下标分别是 \(s_1,s_2,\cdots,s_n,t_1,t_2,\cdots,t_n\)，那么可以发现一组 \(s,t,c\) 符合条件当且仅当：

• \(a_{s_1},a_{s_2},\cdots,a_{s_n},b_{t_1},b_{t_2},\cdots,b_{t_n},c_1,c_2,\cdots,c_n\) 中无重复元素，否则就会有寿司被吃两次及以上。
• \(a_{s_i}\) 在 \(a[1…s_i]\cup b[1…t_i]\) 中恰好出现了一次，\(b_{t_i}\) 中也在 \(a[1…s_i]\cup b[1…t_i]\) 中恰好出现了一次，否则 \(a_{s_i}\) 或者 \(b_{t_i}\) 就会在早于 \(i\) 的时间内被吃掉，或者 \(a_{s_i}=b_{t_i}\) 则意味着吃 \(a_{s_i}\) 时 A,B 会发生矛盾。
• \(c_i\) 不能在 \(a[1…s_i]\cup b[1…t_i]\) 中出现过，理由同上。

这样就可以 DP 求出 \(\{c_i\}\) 了。考虑 \(dp_{i,x,y}\) 表示当前已经确定了 \(s_1\sim s_i,t_1\sim t_i\)，\(s_i=x,t_i=y\)，有多少种可能的 \(c_i\)，如果 \(x,y\) 不满足 \(a_x,b_y\) 在 \(a[1…x]\cup b[1…y]\) 中出现恰好一次的条件，那么显然有 \(dp_{i,x,y}=0\)，否则我们就枚举它 \(s_{i-1},t_{i-1}\) 的值，即 \(dp_{i,x,y}=\sum\limits_{x’<x}\sum\limits_{y’<y}dp_{i-1,x’,y’}·(3t-|a[1…x]\cup b[1…y]|)\)。后面的 \(3t-|a[1…x]\cup b[1…y]|\) 表示合法的 \(c_i\) 个数。根据“\(a_{s_1},a_{s_2},\cdots,a_{s_n},b_{t_1},b_{t_2},\cdots,b_{t_n},c_1,c_2,\cdots,c_n\)”无重复元素这一条件，\(a[1…x]\cup b[1…y]\) 与 \(a_{s_{i+1}},a_{s_{i+2}},\cdots,a_n,b_{t_{i+1}},b_{t_{i+2}},\cdots,b_{t_n}\) 肯定不交，因此可以拿总元素数 \(3n\) 减去两个集合的大小，可以得到 \(3t-|a[1…x]\cup b[1…y]|\)。用前缀和优化一下可实现 \(\Theta(n^3)\)。