CKKS Part4: CKKS的乘法和重线性化

本文翻译于CKKS EXPLAINED, PART 4: MULTIPLICATION AND RELINEARIZATION，主要介绍CKKS方案中的密文乘法和重线性化技术

介绍

在上一篇 CKKS Part3: CKKS的加密和解密，我们看到了如何基于RLWE问题创建同态加密方案，实现同态加法和密文明文乘法。

虽然执行密文-明文乘法很容易，但正如我们将看到的，密文-密文要复杂得多。事实上，我们需要处理很多事情才能正确地完成它，比如找到正确的操作，这样一旦解密，我们就可以得到两个密文的乘积，以及管理密文的大小。

因此，本文将介绍密文乘法和重新线性化的概念，以减少生成的密文的大小。

基本概念

为了了解我们将如何在CKKS中执行密文-密文乘法，让我们回顾一下我们在前一篇文章中看到的内容。

首先，记住我们研究的是多项式空间$R_{q}=\Zeta _{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)$。我们将s作为我们的私钥，然后我们可以安全地输出一个公钥p=（b，a）=(−a. s+e，a），其中a均匀取样$R_{q}$、 e是一个小的随机多项式。

然后我们有$\mbox{E}ncrypt\left( u,s \right)=c=\left( c_{0},c_{1} \right)=\left( u,0 \right)+p=\left( b+u,a \right)\in R_{q}^{2}$是明文$u \in \Zeta _{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)$使用公钥p的加密操作。要使用私钥s解密密文c，我们执行以下操作：$$Decrypt\left( c,s \right)=c_{0}+c_{1}.s=u+e$$

然后我们发现定义一个在密文上的加法运算$_{}（c，c′）$很容易，所以一旦我们解密$_{}$ 我们将大致得到两个基本明文的加法。

实现这一点的方法是定义$_{}$ 具体如下：$$\mbox{C}{Add}\left( c,c' \right)=\left( c{0}+c_{0}',c_{1}+c_{1}' \right)=c+c'=c_{add}$$

事实上，如果我们对其应用解密操作，我们会得到：$$Decrypt\left( c_{add},s \right)=c_{0}+c_{0}'+\left( c_{1}+c_{1}' \right).s=c_{0}+c_{1}.s+c_{0}'+c_{1}'.s=Decrypt\left( c,s \right)+Decrypt\left( c',s \right)约等于u+u'$$

这里我们看到，对密文做加法非常简单，我们只需要将两个密文相加，我们可以使用常规的解密操作来解密结果，以获得两个对应明文的相加。

我们将看到，在进行密文乘法时，乘法和解密操作都更加复杂。

密文-密文乘法

现在我们看到了这一点，我们看到我们的目标是找到操作$_{},$, 对于两个密文c，c′我们有：$DecryptMult\left( \mbox{C}_{Mult}\left( c,c' \right),s \right)=Decrypt\left( c,s \right).Decrypt\left( c',s \right)$，切记$Decrypt\left( c,s \right)=c_{0}+c_{1}.s$，我们展开上面的式子得到：

\[Decrypt\left( c,s \right).Decrypt\left( c',s \right)=\left( c_{0}+c_{1}.s \right).\left( c_{0}'+c_{1}'.s \right)=c_{0}.c_{0}'+\left( c_{0}.c_{1}'+c_{0}'.c_{1} \right).s+c_{1}.c_{1}'.s^{2}=d_{0}+d_{1}.s+d_{2}.s^{2}
\]

其中$d_{0}=c_{0}.c_{0}',d_{1}=\left( c_{0}.c_{1}'+c_{0}'c_{1} \right),d_{2}=c_{1}.c_{1}'$

有趣的如果我们仔细想想，计算$Decrypt\left( c,s \right)=c_{0}+c_{1}.s$，可以看作是关于私钥s的多项式求值，它是形式为$c_0+c_1.S$的一次多项式。S是多项式中的变量。

因此，如果我们看到两个密文乘积上的解密运算，它可以被看作是多项式$d_0+d_1.S+d_2.S^2，关于S的二次多项式

因此，我们可以使用以下操作来进行密文乘法：

\[\mbox{C}_{Mult}\left( c,c' \right)=c_{mult}=\left( d_{0},d_{1,}d_{2} \right)=\left( c_{0}.c_{0}',c_{0}.c_{1}'+c_{0}'.c_{1},c_{1}.c_{1}' \right)
\]

\[DecryptMult\left( c_{mult},s \right)=d_{0}+d_{1}.s+d_{2}.s^{2}
\]

使用这样的操作可能会有效，但有一个问题：密文的大小增加了！事实上，虽然密文通常只是几个多项式，但这里有3个多项式用于密文。通过使用与之前相同的推理，如果我们什么都不做，要正确解密下一个乘积，我们需要5个多项式，然后是9个，依此类推。因此，密文的大小将呈指数增长，如果我们这样定义密文-密文乘法，它在实践中将不可用。

我们需要找到一种不增加每一步密文大小的乘法方法。这就是重线性化的用武之地！

重线性化

我们可以把密文之间的乘法定义为运算：$\mbox{C}_{Mult}\left( c,c' \right)=\left( d_{0},d_{1},d_{2} \right)$，问题是，现在的输出是一个维数为3的密文，如果我们在每次计算后继续增加密文的大小，那么在实践中使用它将变得不可行。

让我们想想，问题是什么？问题是我们需要第三个项$d_2$，用于多项式解密$DecryptMult\left( c_{mult},s \right)=d_{0}+d_{1}.s+d_{2}.s^{2}$，但如果我们能找到只有一个1次多项式作为解密去计算$d_2.s^2$的方法呢？那么在这种情况下，密文的大小将是恒定的，它们都将只是用到了两个多项式！

这就是重新线性化的本质：找到一对多项式$\left( d_{0}',d_{1}' \right)=\mbox{Re}lin\left( c_{m\mu lt} \right)$，例如：$$Decrypt\left( \left( d_{0}',d_{1}' \right),s \right)=d_{0}'+d_{1}'.s=d_{0}+d_{1}.s+d_{2}.s^{2}=Decrypt\left( c,s \right).Decrypt\left( c',s \right)$$

具体来说，重线性化允许有一对多项式（s的一次方），而不是三对多项式（s的二次方），这样，解密时就只需要用到s，而不用s的平方，我们就可以得到两个明文的乘法。

因此，如果我们在每次密文-密文乘法后执行重线性化，我们将始终有相同大小的密文，具有相同的解密电路！

现在你可能想知道我们到底需要如何定义。这个想法很简单，我们知道我们需要一对多项式，例如：$d_{0}'+d_{1}'.s=d_{0}+d_{1}.s+d_{2}.s^{2}$，我们的想法是定义$\left( d_{0}',d_{1}' \right)=\left( d_{0},d_{1} \right)+P$，其中P表示一对多项式，例如$Decrypt\left( P,s \right)=d_{2}.s^{2}$

这样，当我们用$（d′_0，d′_1）计算解密电路时，我们得到：

\[Decrypt\left( \left( d_{0}',d_{1}' \right),s \right)=Decrypt\left( \left( d_{0},d_{1},s \right) \right)+Decrypt\left( P,s \right)=d_{0}+d_{1}.s+d_{2}.s^{2}
\]

一种方法是提供一个计算密钥，用于计算P。使得$evk=\left( -a_{0}.s+e_{0}+s^{2},a_{0} \right)$，其中$e_0$是一个小的随机多项式，$a_0$是一个在$R_q$上均匀采样的多项式，然后我们计算$Decrypt\left( evk,s \right)=e_{0}+s^{2} 约等于 s^{2}$，太好了！我们可以看到，我们可以公开计算密钥，因为基于RLWE问题很难提取私钥，可以用来求s的平方项。

所以为了解密出$d_{2}.s^{2}$, P可能是$P=d_{2}.evk=\left( d_{2.}.\left( -a_{0}+e_{0}+s^{2} \right),d_{2}.a_{0} \right)$，的确正如我们所看到的那样$Decrypt\left( P,s \right)=d_{2}.s^{2}+d_{2}.e_{0}$，这时我们可能会考虑$d_{2}.s^{2}+d_{2}.e_{0}约等于d_{2}.s^{2}$？

不幸的是，我们不能这样做，因为$d_{2}.e_0$项比我们通常得到的噪声要大得多。如果你之前注意到了，我们允许对结果进行近似，因为误差多项式很小，比如加入一个小多项，它不会对结果产生太大的影响。但问题是$d_2$很大，因为$d_2=c_1.c_1'$，其中，每个$c_1$包括一个从$R_q$中采样的多项式a，因此，它比我们通常处理的小误差多项式要大得多。

那么，我们在实践中如何处理这个问题呢？诀窍是稍微修改计算密钥，并将其定义为$evk=\left( -a_{0}.s+e_{0}+p.s^{2},a_{0} \right)(mod p.q)$，其中p是一个大整数，$a_0$从$R_{q.p}$中随机采样。这里的想法是，我们将除以p，以去除与$d_2$相乘时产生的噪声，即

\[\frac{Decrypt\left( evk,s \right)}{p}=\; \frac{e_{0}+p.s^{2}}{p}约等于s^{2}
\]

，因此最后我们使得：$$P=\left\lfloor p^{-1}.d_{2}.evk \right\rfloor\left( \mbox{mod}\ q \right)$$，这意味着我们将除以p并将其四舍五入到最接近的整数，然后使用模q（而不是p.q）。

即

\[Decrypt\left( P,s \right)=p^{-1}.d_{2}.e_{0}+d_{2}.s^{2}约等于d_{2}.s^{2}
\]

，因为$p^{-1}.d_2.e_0$很小，可以约去！

我们终于有了合适的方法了！因此，为了定义重线性化，我们需要一个计算密钥（可以在没有风险的情况下公开），我们将其定义为：$\mbox{Re}lin\left( \left( d_{0},d_{1},d_{2},evk \right) \right)=\left( d_{0},d_{1} \right)+\left\lfloor p^{-1}.d_{2}.evk \right\rfloor$。可以看到，重线性化后的密文由三维变二维。

因此，如果我们有两个密文c，c′，并且我们想要将它们相乘（可能几次），然后解密结果，那么工作流程将是：

1、相乘：$c_{m\mu lt}=\mbox{C}_{Mult}\left( c,c' \right)=\left( d_{0},d_{1},d_{2} \right)$

2、重线性化：$c_{\mbox{re}lin}=\mbox{Re}lin\left( \left( d_{0},d_{1},d_{2} \right),evk \right)$

3、解密输出：$u_{m\mu lt}=Decrypt\left( c_{m\mu lt},s \right)约等于u.u'$

我在这里只给出了总体思路，但如果您有兴趣了解细节，我建议您阅读"Somewhat Practical Fully Homomorphic Encryption".一文中的解释。

现在我们知道了如何将两个密文相乘，并保持它们的大小不变。太好了！虽然你可能认为这一切都结束了，但我们会看到，要实现同态加密方案，还有最后一步要做：rescaling，重新缩放。在我们自己编写代码之前，我们将在下一篇文章中看到什么是重缩放，以及如何进行重缩放！