【BZOJ】【2752】【HAOI2012】高速公路(Road)

数学期望/线段树

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　　然而又是一道road= =上一道是2750……

　　下次不要一看期望题就弃疗么……

　　期望题≠不可做题……！！

　　其实在这题中，期望就是（所有情况下 权值之和）/（总方案数）

　　因为是等概率抽取区间啊= =2333

　　然而分母很好搞，直接就能算出来，所以我们要来搞分子……

　　分子其实是个这玩意：$$\sum_{i=l}^{r} v[i]*(i-l+1)*(r-i+1)$$
　　（我不会告诉你一开始我没加“+1”……）

　　然而我一开始直接用“几何意义”之类的鬼玩意想往上套，果断跪了Orz

　　膜拜了zyf的题解，其实正确姿势是这样的！$$\begin{aligned} \sum_{i=l}^{r} v[i]*(i-l+1)*(r-i+1) &= \sum_{i=l}^{r} v[i]*[(r-l-l*r+1)+i*(l+r)-i^2] \\ &=\sum_{i=l}^{r} \big (v[i]*(r-l-l*r+1) + v[i]*i*(l+r)-v[i]*i^2 \big ) \end{aligned}$$

　　然后知道了这个能干嘛？…………其实………… l 和 r 就是询问的 l 和 r ，所以我们只需要维护与 i 相关的项，即$\sum v[i]$、$\sum v[i]*i$和$\sum v[i]*i^2$就可以计算答案啦~（然而蒟蒻没想到……T^T

　　嗯……怎么维护？合并就是直接加嘛= =反正只跟坐标相关，然后对整个区间都add一个值？……这是数学问题不要问我>_>  （其实我也不会

WA：在upd的时候，由于运算时出现了l*r这个不和谐的项……所以传进去的 l 和 r 得是long long

 /**************************************************************
     Problem: 2752
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:3712 ms
     Memory:16904 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 2752
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline LL getint(){
     LL r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=;
 /*******************template********************/
 int n,m;
 struct node{
     LL num[],ad;
     node(){F(i,,) num[i]=; ad=;}
 }t[N<<];

 node maintain(node L,node R){
     node tmp;
     F(i,,) tmp.num[i]=L.num[i]+R.num[i];
     return tmp;
 }
 #define mid (l+r>>1)
 #define L (o<<1)
 #define R (o<<1|1)
 void upd(int o,LL l,LL r,LL v){
     t[o].ad+=v;
     t[o].num[]+=v*(r-l+);
     t[o].num[]+=v*(r+l)*(r-l+)/;
     t[o].num[]+=v*(r*(r+)*(*r+)-(l-)*l*(*l-))/;//数学没学好QAQ
 }
 void Push_down(int o,int l,int r){
     if (t[o].ad){
         upd(L,l,mid,t[o].ad);
         upd(R,mid+,r,t[o].ad);
         t[o].ad=;
     }
 }
 void update(int o,int l,int r,int ql,int qr,LL v){
     if (ql<=l && qr>=r) upd(o,l,r,v);
     else{
         Push_down(o,l,r);
         if (ql<=mid) update(L,l,mid,ql,qr,v);
         if (qr>mid) update(R,mid+,r,ql,qr,v);
         t[o]=maintain(t[L],t[R]);
     }
 }
 node query(int o,int l,int r,int ql,int qr){
     if (ql<=l && qr>=r) return t[o];
     else{
         Push_down(o,l,r);
         node ans;
         if (ql<=mid) ans=maintain(ans,query(L,l,mid,ql,qr));
         if (qr>mid) ans=maintain(ans,query(R,mid+,r,ql,qr));
         return ans;
     }
 }
 inline LL gcd(LL a,LL b){return b ? gcd(b,a%b) : a;}
 void solve(LL fz,LL fm){
     fm=fm*(fm+)/;
     LL d=gcd(abs(fz),fm);
 //  cout << fz <<" "<<fm<<' '<<d<<endl;
     fz/=d; fm/=d;
     printf("%lld/%lld\n",fz,fm);
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("2752.in","r",stdin);
     freopen("2752.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint()-; m=getint();
     char cmd[];
     F(i,,m){
         scanf("%s",cmd);
         LL l=getint(),r=getint()-,v;
         if (cmd[]=='C'){
             v=getint();
             update(,,n,l,r,v);
         }else{
             node ans=query(,,n,l,r);
             LL fz=ans.num[]*(r-l-l*r+)+ans.num[]*(l+r)-ans.num[];
             solve(fz,r-l+);
         }
     }
     return ;
 }

2752: [HAOI2012]高速公路(road)

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MB
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Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r   表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input

4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output

1/1
8/3
17/6

HINT

数据规模

所有C操作中的v的绝对值不超过10000

在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

所有测试点的详细情况如下表所示

Test N M

1 =10 =10

2 =100 =100

3 =1000 =1000

4 =10000 =10000

5 =50000 =50000

6 =60000 =60000

7 =70000 =70000

8 =80000 =80000

9 =90000 =90000

10 =100000 =100000

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