NOIP 2016 组合数问题

洛谷 P2822 组合数问题

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JDOJ 3139: [NOIP2016]组合数问题 D2 T1

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Description

组合数Cnm表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数的一般公式：

Cnm=n!m!(n−m)!

其中n! = 1 × 2 × · · · × n

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0 <= i <= n，0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足Cij是k的倍数。

Input

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见 【问题描述】。

接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

Output

t行，每行一个整数代表答案。

Sample Input

1 2 3 3

Sample Output

1

HINT

【样例解释】

在所有可能的情况中，只有C21=2是2的倍数。

【子任务】

Source

NOIP2016提高组

题解：

一开始动手做这道题的时候，自己还是一个对组合数没什么概念的蒟蒻。强行套公式理解后各种TLE、OLE、WA，总之就是爆零。我太菜了

后来就自学了组合数：

详解组合数相关性质

发现其实很好理解，没多少东西。

所以掌握了从通项公式到递推公式进阶的我成功地拿到了70分：

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
int t,k;
int n,m,ans;
int c[2010][2010];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&t,&k);
	c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=2000;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=2000;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
	}
	while(t--)
	{
		ans=0;
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		for(int i=0;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<=min(i,m);j++)
			{
				int tmp=c[i][j]/k;
				if(tmp*k==c[i][j])
					ans++;
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

后来加取模之后还可以多过两个点（WA了的那俩，是由于数据太大爆long long的）

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
int t,k;
int n,m,ans;
int c[2010][2010];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&t,&k);
	c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=2000;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=2000;j++)
			c[i][j]=(c[i-1][j]%k+c[i-1][j-1]%k)%k;
	}
	while(t--)
	{
		ans=0;
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		for(int i=0;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<=min(i,m);j++)
			{
				int tmp=c[i][j]/k;
				if(tmp*k==c[i][j])
					ans++;
			}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

然后绞尽脑汁地想那俩TLE了的点是怎么错的。各种卡常还是失败了。然后分析时间复杂度，发现最后出问题的还是枚举判断的地方。

想一下，这个程序的时间复杂度，就算把预处理的部分除掉，最后还会出现\(O(t\times n\times m)\)的复杂度。必\(T\)无疑，这是无论怎么加优化都没有用的。

我们得优化算法本身的复杂度：

如果\(O(nm)\)的级别不够，那就化成\(O(1)\)级别的。

是的，你没看错，在给定\(k\)之后，完全可以在预处理的部分提前处理出所有的答案。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int t,k;
int n,m;
ll c[2010][2010];
ll ans[2010][2010];
signed main()
{
	scanf("%d%d",&t,&k);
	c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
	for(int i=2;i<=2000;i++)
	{
		c[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
			ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
			if(!c[i][j])
				ans[i][j]++;
		}
		ans[i][i+1]=ans[i][i];
	}
	while(t--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		if(m>n)
		{
			printf("%lld\n",ans[n][n]);
			continue;
		}
		printf("%lld\n",ans[n][m]);
	}
	return 0;
}