NOIP 2016 组合数问题
洛谷 P2822 组合数问题
JDOJ 3139: [NOIP2016]组合数问题 D2 T1
Description
组合数Cnm表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子,从(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有(1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数的一般公式:
Cnm=n!m!(n−m)!
其中n! = 1 × 2 × · · · × n
小葱想知道如果给定n,m和k,对于所有的0 <= i <= n,0 <= j <= min(i,m)有多少对 (i,j)满足Cij是k的倍数。
Input
第一行有两个整数t,k,其中t代表该测试点总共有多少组测试数据,k的意义见 【问题描述】。
接下来t行每行两个整数n,m,其中n,m的意义见【问题描述】。
Output
t行,每行一个整数代表答案。
Sample Input
1 2 3 3
Sample Output
1
HINT
【样例解释】
在所有可能的情况中,只有C21=2是2的倍数。
【子任务】
Source
题解:
一开始动手做这道题的时候,自己还是一个对组合数没什么概念的蒟蒻。强行套公式理解后各种TLE、OLE、WA,总之就是爆零。我太菜了
后来就自学了组合数:
发现其实很好理解,没多少东西。
所以掌握了从通项公式到递推公式进阶的我成功地拿到了70分:
代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
int t,k;
int n,m,ans;
int c[2010][2010];
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&t,&k);
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<=2000;i++)
{
c[i][0]=1;
for(int j=1;j<=2000;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
}
while(t--)
{
ans=0;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=min(i,m);j++)
{
int tmp=c[i][j]/k;
if(tmp*k==c[i][j])
ans++;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
后来加取模之后还可以多过两个点(WA了的那俩,是由于数据太大爆long long的)
代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
int t,k;
int n,m,ans;
int c[2010][2010];
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&t,&k);
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<=2000;i++)
{
c[i][0]=1;
for(int j=1;j<=2000;j++)
c[i][j]=(c[i-1][j]%k+c[i-1][j-1]%k)%k;
}
while(t--)
{
ans=0;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=min(i,m);j++)
{
int tmp=c[i][j]/k;
if(tmp*k==c[i][j])
ans++;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
然后绞尽脑汁地想那俩TLE了的点是怎么错的。各种卡常还是失败了。然后分析时间复杂度,发现最后出问题的还是枚举判断的地方。
想一下,这个程序的时间复杂度,就算把预处理的部分除掉,最后还会出现\(O(t\times n\times m)\)的复杂度。必\(T\)无疑,这是无论怎么加优化都没有用的。
我们得优化算法本身的复杂度:
如果\(O(nm)\)的级别不够,那就化成\(O(1)\)级别的。
是的,你没看错,在给定\(k\)之后,完全可以在预处理的部分提前处理出所有的答案。
代码:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int t,k;
int n,m;
ll c[2010][2010];
ll ans[2010][2010];
signed main()
{
scanf("%d%d",&t,&k);
c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
for(int i=2;i<=2000;i++)
{
c[i][0]=1;
for(int j=1;j<=i;j++)
{
c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%k;
ans[i][j]=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
if(!c[i][j])
ans[i][j]++;
}
ans[i][i+1]=ans[i][i];
}
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
if(m>n)
{
printf("%lld\n",ans[n][n]);
continue;
}
printf("%lld\n",ans[n][m]);
}
return 0;
}
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