POJ 1201 差分方程分析

POJ 1201

给你N个闭区间。每个区间分别为[ai,bi]，你必须在这个区间上至少取ci个不同的整数。

现要求所有区间满足各自的条件。

问最少需要选多少个点。

例如[3,7](3)  [8,10](3)  [6,8](1)  [1,3](1)  [10,11](1)

我们最少需要选6个点:

3 4 6 8 9 10

在这里我们可以看成是dp[7]-dp[2]>=3 dp[10]-dp[8]>=3 ....

这就可以理解为2->7的距离可以定为3,8->10的距离也定为3

我们再看看Si的定义，也不难写出0<=Si - Si-1<=1的限制条件，虽然看上去是没有什么意义的条件，但是如果你也把它构造出一系列的边的话，这样从起点到终点的最短路也就顺理成章的出现了。

我们将上面的限制条件写为同意的形式：

Sbi - Sai >= ci

Si - Si-1 >= 0

Si-1 - Si >= -1

这样子我们相当于在一个构建好的有向图中找一个最长路径，这跟之前的最短路径正好相反，所以需要引起注意

那么dp在初始化时需尽可能小，才能不断更新出最大值

  memset(dp,-,sizeof(dp)); 

for(int i=first[u];i!=-;i=area[i].next){
            if(dp[area[i].y]<dp[u]+area[i].d){
                dp[area[i].y]=dp[u]+area[i].d;
                if(!visit[area[i].y])
                    visit[area[i].y]=,q.push(area[i].y);
            }

所以这里要引起注意，要在小于的情况下继续执行程序，不断更新出最大值。

对于一个差分问题来说是可能存在无解的情况的，那说明形成的是负圈，但这道题目明显表示有解，所以无需进行负圈的判断。

总代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <queue>
 #include <cmath>
 using namespace std;
 #define N 50005
 #define M 200000

 int visit[N],dp[N],first[N],k,n,m,maxn,minn;

 struct Area{
     int y,next,d;
 }area[M];

 void init()
 {
     k=,maxn=,minn=N;
     memset(first,-,sizeof(first));
 }

 void add(int a,int b,int c){
     area[k].y=b,area[k].d=c,area[k].next=first[a];
     first[a]=k;
     k++;
 }

 void spfa()
 {
     memset(visit,,sizeof(visit));
     queue<int> q;
     memset(dp,-,sizeof(dp));
     dp[minn]=,visit[minn]=,q.push(minn);
     while(!q.empty()){
         int u=q.front();
         q.pop();
         visit[u]=;
         for(int i=first[u];i!=-;i=area[i].next){
             if(dp[area[i].y]<dp[u]+area[i].d){
                 dp[area[i].y]=dp[u]+area[i].d;
                 if(!visit[area[i].y])
                     visit[area[i].y]=,q.push(area[i].y);
             }
         }
     }
 }

 int main()
 {
     int a,b,c;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
         init();
         for(int i=;i<n;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
             //add(b,a-1,-c);
             add(a,b+,c);
             maxn=max(maxn,b+);
             minn=min(minn,a);
         }
         for(int i=minn;i<maxn;i++){
             add(i,i+,);
             add(i+,i,-);
         }
         spfa();

         printf("%d\n",dp[maxn]);
     }
     return ;
 }