HDU-1163Eddy's digital Roots,九余定理的另一种写法！

下午做了NYOJ-424Eddy's digital Roots后才正式接触了九余定理，不过这题可不是用的九余定理做的。网上的博客千篇一律，所以本篇就不发篇幅过多介绍九余定理了；

但还是要知道什么是九余定理：

九余数定理

一个数对九取余后的结果称为九余数。

一个数的各位数字之和相加后得到的<10的数字称为这个数的九余数（如果相加结果大于9，则继续各位相加）

简单的说就是：一个整数模9的结果与这个整数的各位数字之和模9的结果相同；

以前做题不知道有这个定理一般暴力就过了，求数位和也不复杂，只不过更省时间而已；

先来看看HDU-1163Eddy's digital Roots,博主是在NYOJ上做的这题时间限制是3s；

题意：求N^N的数位和（结果是个位数），开始打表找规律也没发现什么规律，于是想了另外一种方法：可以发现n的数位和的n次方再求数位和其实就等于n的n次方的数位和；比如：n=11,结果应该是5；11的数位和等于2，而2^11的数位和就等于5；进一步发现：

F(2^11)=F(8*8*8*4)=F(8*8)*F(8)*F(4)=F(64)*F(8)*F(4)=F(10)*F(8)*F(4)=F(80)*F(4)=F(8)*F(4)=F(32)=F(5)=5;

F(11^11)=F(11)*F(11)*...*F(11)=F(2)*F(2)*...*F(2)=F(2)^11=F(2^11);

所以此题就可以先求出N的数位和然后只需一层循环一直乘以N的数位和，注意当乘积大于10时需要再进行求数位和然后再重复操作；最后别忘了将循环里得到的值再求数位和；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,i;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        int sum=n;
        while(sum>=10)//将n的数位和求出；
        {
            int x=0;
            while(sum)
            {
                x+=sum%10;
                sum/=10;
            }
            sum=x;
        }
        int d=sum;
        for(i=2; i<=n; i++)
        {
            while(sum>=10)
            {
                int x=0;
                while(sum)
                {
                    x+=sum%10;
                    sum/=10;
                }
                sum=x;
            }
            sum*=d;
        }
        while(sum>=10)//最后得到的值再求数位和；
        {
            int x=0;
            while(sum)
            {
                x+=sum%10;
                sum/=10;
            }
            sum=x;
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}

上述代码在NYOJ上运行时间是1680ms,时限3s；而HDU运行时间0ms,时限1s,真是神奇呵!;

运用九余定理AC代码：确实很简洁方便！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,temp;
    while(~scanf("%d",&n)&&n)
    {
        temp=n;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            temp=(temp%9*n)%9;
        if(temp==0)//此处需要注意；
            printf("9\n");
        else
            printf("%d\n",temp%9);
    }
    return 0;
}

下面再来看NYOJ-485A*B Problem,此题题意很简单，就是求A*B的数位和；很明显方法很多，但是时限是1s，所以。。。所以这题只能用九余定理做吗？应该是的，我用九余定理运行时间986ms勉强过了，而用分治法超时了。。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int t;
    long long n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        if(m==0||n==0)//这里需注意一下特殊情况；
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        n%=9;
        m%=9;
        long long x=(n*m)%9;
        if(x==0)
            printf("9\n");
        else
            printf("%lld\n",x);
    }
    return 0;
}