Locally weighted linear regression(局部加权线性回归)

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前面几篇博客主要介绍了线性回归的学习算法，那么它有什么不足的地方么？怎么改进呢？这就是本篇的主题。

为了引出问题，先看一个关于线性的例子，选取不同的特征会得到不同结果。考虑给定一组数据，我们要进行线性回归，得到和之间的关系。提出了三种不同的特征的选择方式，结果如下：

左图，选取一个特征，假设为，我们可以看到数据不能很好的和数据相吻合。

中图，我们选取了两个特征和，假设为，我们可以看到拟合效果变好了。那是不是特征越多越好呢？非也。

右图，一共6个数据点，所以用5阶多项式就可以做到所有的数据点都在曲线上了，假设为。虽然将数据点拟合的很perfect，但是我们不认为这是一个很好的假设，因为它不能做到很好的预测。

我们称左图的拟合效果为underfitting（欠拟合），数据中的明显的结构关系没有被模型所捕获。称右图的拟合效果为overfitting（过拟合），这种假设只是用于特定的数据，预测效果不好。中图的效果最好，那我们应该如何选择特征，使得假设的效果最好？有人说了，那就挨个试呗，先选择1个特征，看效果，2个特征，看效果。。。。我们可不愿意做这种事情。

就像上面讨论的那样，特征的选择对学习算法的性能至关重要，那有没有自动选择特征集的算法，或者是让特征的选择对结果影响不那么大？这就是我们要介绍的Locally weight-

ed linear regression (LWR)，这个算法对特征集要求不是非常的严格。

在最初的线性回归算法中，对于输入变量，我们要预测，我们通常要做的：

相对而言，对于局部加权线性回归，我们要做：

，这里多了一个权值项。直观上，的值越大，它所对应的对结果的影响越大，反之越小。

我们选择的形式如下：

，其中的就是我们要预测的输入变量。为了理解，看下图：

，显然，当足够小时，近似为1；当足够大时，近似为0；也就是说离很近的样本会得到接近为1的权值，很远的样本权值近乎为0。所以我们无们可以这样理解：在局部构成了线性回归算法，对于的学习，主要依赖于附近的点。如下图：

，图中红色直线使用线性回归做的结果，黑色直线使用LWR做的结果，可以看到局部加权回归的效果较好。

在让我们来看一下形式的的形式，和高斯函数形式很像，但和那一点关系都没有哦！是波长参数，控制了权值随距离的下降速率。

总结一下：LWR算法是我们遇到的第一个non-parametric（非参数）学习算法，而线性回归则是我们遇到的以一个parametric（参数）学习算法。所谓参数学习算法它有固定的明确的参数，参数一旦确定，就不会改变了，我们不需要在保留训练集中的训练样本。而非参数学习算法，每进行一次预测，就需要重新学习一组，是变化的，所以需要一直保留训练样本。也就是说，当训练集的容量较大时，非参数学习算法需要占用更多的存储空间，计算速度也较慢。有得必有失，效果好当然要牺牲一些其他的东西。人不一定什么都擅长，只要有自己的特点就可以了！！