BZOJ2933 [Poi1999]地图【区间DP】

Description

一个人口统计办公室要绘制一张地图。由于技术的原因只能使用少量的颜色。两个有相同或相近人口的区域在地图应用相同的颜色。例如一种颜色k，则A(k) 是相应的数，则有：

在用颜色k的区域中至少有一半的区域的人口不大于A(k)

在用颜色k的区域中至少有一半的区域的人口不小于A(k)

区域颜色误差是该区域的人口与A(k)差的绝对值。累计误差是所有区域颜色误差的总和。我们要求出一种最佳的染色方案（累计误差最小）。

任务

写一个程序：

读入每个区域的人口数

计算最小的累计误差

将结果输出

Input

第一行有一个整数n，表示区域数，10< n <3000。在第二行中的数m表示颜色数，2 <= m <= 10。在接下来的n中每行有一个非负整数，表示一个区域的人口。人口都不超过2^30。

Output

输出一个整数，表示最小的累计误差

Sample Input

11

3

21

14

6

18

10

2

15

12

3

2

2

Sample Output

15

---

思路

有贪心的思想，可以先排序，从小到大进行分块

\(dp_{i,j}\)表示前i个数分j个颜色

然后\(dp_{i,j}=\min(dp_{k-1,j-1}+calc(k,i))\)

\(calc(k,i)=\sum_{p=k}^i |a[mid]-a[p]|\)

然后考虑怎么快速算calc

发现每次在端点加上一个数，中位数会向右平移一位，然而平移前后原来和是不变的

所以只需要统计当前加上这个数之后的贡献

---

//Author: dream_maker
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//----------------------------------------------
//typename
typedef long long ll;
//convenient for
#define fu(a, b, c) for (int a = b; a <= c; ++a)
#define fd(a, b, c) for (int a = b; a >= c; --a)
#define fv(a, b) for (int a = 0; a < (signed)b.size(); ++a)
//inf of different typename
const int INF_of_int = 1e9;
const ll INF_of_ll = 1e18;
//fast read and write
template <typename T>
void Read(T &x) {
  bool w = 1;x = 0;
  char c = getchar();
  while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
  if (c == '-') w = 0, c = getchar();
  while (isdigit(c)) {
    x = (x<<1) + (x<<3) + c -'0';
    c = getchar();
  }
  if (!w) x = -x;
}
template <typename T>
void Write(T x) {
  if (x < 0) {
    putchar('-');
    x = -x;
  }
  if (x > 9) Write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
//----------------------------------------------
const int N = 3010;
const int M = 20;
int n, m, a[N];
ll cal[N][N], dp[N][M];
int main() {
  Read(n), Read(m);
  fu(i, 1, n) Read(a[i]);
  sort(a + 1, a + n + 1);
  fu(j, 2, n)
    fd(i, j - 1, 1)
      cal[i][j] = cal[i + 1][j] + a[(i + j + 1) >> 1] - a[i];
  fu(i, 0, n)
    fu(j, 0, m) dp[i][j] = INF_of_ll;
  dp[0][0] = 0;
  fu(i, 1, n)
    fu(j, 1, m)
      fu(k, 1, i)
        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k - 1][j - 1] + cal[k][i]);
  Write(dp[n][m]);
  return 0;
}