1710 生日蛋糕（1999 noi）

1710 生日蛋糕（1999 noi）

1999年NOI全国竞赛

题目描述 Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i(1<=i<=M)层蛋糕是半径为R_i,高度为H_i的圆柱。当i<M时，要求R_i>R_i+1且H_i>H_i+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。

令Q= Sπ

请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的R_i和H_i的值），使S最小。

（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

输入描述 Input Description

有两行，第一行为N（N<=10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M<=20)，表示蛋糕的层数为M。

输出描述 Output Description

仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。

样例输入 Sample Input

100   2

样例输出 Sample Output

68

数据范围及提示 Data Size & Hint

体积V=πR²H

侧面积A’=2πRH

底面积A=πR²

题目分析：搜索题，其实不减枝的代码还是很好写的。

参考程序：

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#define maxn 22

#define INF 100000000

int N,M,ans,maxh;

//m为蛋糕的层数, v为当前的体积, s为当前得到的面积,r和h为当前层的半径和高

void dfs(int m,int v,int s,int r,int h){

//退出条件

if(m == 0){

if(ans > s && v == N) ans = s;

return;

}

//枚举可能的解

for(int i = r-1; i >= m; i--){

for(int j = maxh; j >= m; j--){

if(m == M) s = i * i;

dfs(m-1,v+i*i*j,s+2*i*j,i,j);

}

}

}

int main(){

scanf("%d%d",&N,&M);

ans = INF;

maxh=N/M/M;//唯一的剪枝，底层蛋糕的最大高度N/(M*M)

dfs(M,0,0,N+1,N+1);

if(ans == INF) printf("0\n");

else printf("%d\n",ans);

return 0;

}

然后就是剪枝呢，四个减枝的条件：

先打表，算出每层蛋糕的最小体积和表面积(minv[i]和mins[i])，然后在来减枝

1、v+minv[m]  > V

v为已经涂的体积，那么如果v加上下一层最小的体积比总体积V还大，这显然是不可能的，减去。

2、s+min[m] > ans

s为已经涂的面积，那么s加上下一次最小的面积比当前求得的ans还大，显然不需要dfs了，减去。

3、2*(V-v)/r + s >= ans

已经涂了s，那么还剩下rest_s = sum{2*Ri*Hi} >= sum{2*Ri*Ri*Hi/Rk} = 2*(V-v)/r （设k为当前层的半径）。如果rest_s加上s大于等于ans，那么也不用在dfs了。

4、maxh = Min((N-v-minv[m-1])/(i*i),h-1)

当枚举半径为i时，当前最低的可能高为maxh = Min((N-v-minv[m-1])/(i*i),h-1)。

剪枝后的代码：

//注意：本程序蛋糕自顶向下编号（与题目相反），dfs由下向上运行.

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

const int INF=1000000;

const int Size=22;

int N,M;

int ans;

int mins[Size],minv[Size];

int maxh;

void init(){

mins[0]=minv[0]=0;

for(int i=1;i<=M;i++){

mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;

minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;

}

}

void dfs(int m,int v,int s,int lastr,int lasth){

//cout<<m<<' ';

if(m==0){

if(v==N)ans=min(ans,s);

return;

}

if(v+minv[m]>N)return;

if(s+mins[m]>=ans)return;

if(2*(N-v)/lastr+s>=ans)return;

for(int r=lastr-1;r>=m;r--){

int maxh=min((N-v-minv[m-1])/(r*r),lasth-1);//注意这里是minv[m-1]，因为 总体积N – 已经有的v – 将要有的最小体积minv[m+1]  才是 m这一层的最大体积，进而计算最大高度

//cout<<maxh<<endl;

for(int h=maxh;h>=m;h--){

if(m==M)s=r*r;//整个蛋糕与桌面向平的那些环面的面积之和==底层蛋糕的圆面的面积，在此加上

dfs(m-1,v+r*r*h,s+2*r*h,r,h);

}

}

}

int main(){

freopen("1.in","r",stdin);

cin>>N>>M;

ans=INF;

maxh=N/M/M;

init();

int maxr=sqrt(N);

dfs(M,0,0,maxr+1,N+1);

cout<<ans<<endl;

return 0;

}