poj2480——Longge's problem（欧拉函数）

Longge's problem

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Description

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N.

"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it.

Input

Input contain several test case. 
A number N per line. 

Output

For each N, output ,∑gcd(i, N) 1<=i <=N, a line

Sample Input

2
6

Sample Output

3
15

题意：给出一个数n，让你求1-n中所有的数与n的最大公约数的和。

思路：这题是欧拉函数的应用。假设x与n的最大公约数是a，也就是gcd（x，n）=a，那么我们就可以知道gcd（x/a，n/a）=1，也就是x/a与n/a互质。
这说明在1-n中与 n 的最大公约数为a的数都与n/a互质，所以我们就用欧拉函数求出1-n/a中，与n/a互质的数有多少个，其中，a是n的约数，所以遍历所有n的约数。
这题求的是与n的最大公约数的和sum，所以当a是n的约数时，sum就要加上a*欧拉（n/a）；

代码：

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<string>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<stack>
 #include<queue>
 #define eps 1e-7
 #define ll long long
 #define inf 0x3f3f3f3f
 #define pi 3.141592653589793238462643383279
 using namespace std;
 ll euler(ll n) // 求欧拉函数值
 {
     ll res = n,a = n;
     for(ll i=; i*i<=a; ++i)
     {
         if(a%i==)
         {
             res = res/i*(i-);
             while(a%i==) a /= i;
         }
     }
     if(a > ) res = res/a*(a-);
     return res;
 }

 int main()
 {
     ll n;
     while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
     {
         ll ans=;
         for(ll i=; i*i<=n; ++i) //遍历求n的约数
         {
             if(n%i == )
             {
                 ans += i*euler(n/i); //euler(n/i)求出与 n 的最大公约数为 i 的数有多少，再乘上公约数 i
                 if(n/i != i)
                     ans += euler(i)*(n/i); //同理求出与n的最大公约数为n/i的数有多少
             }
         }
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }