【BZOJ2616】SPOJ PERIODNI 笛卡尔树+树形DP

【BZOJ2616】SPOJ PERIODNI

Description

Input

第1行包括两个正整数N，K，表示了棋盘的列数和放的车数。 
第2行包含N个正整数，表示了棋盘每列的高度。

Output

包括一个非负整数，表示有多少种放置的方案，输出答案mod 
1000000007后的结果即可。

Sample Input

5 2
2 3 1 2 4

Sample Output

43

HINT

对于100%的数据，有 N≤500，K≤500，h[i] ≤1000000。

题解：一看题就感觉应该是单调栈什么的。。。具体地说，是笛卡尔树。于是学了一发笛卡尔树的建树方法，感觉跟建虚树差不多。

我们用一个栈来维护笛卡尔树上当前的一条链（向右的链），然后对于第i个点，我们看一下它会被插入到链的哪个位置，这个位置下面的点都连接到i的左儿子处，然后将i入栈。

本题的笛卡尔树要满足每个父亲的高度都比儿子小。

然后考虑树形DP，我们将笛卡尔树上的每个节点看成原图的一个矩形，它的上界是它自己的深度，下界是它父亲的深度，左右边界是它的子树范围。用f[x][y]表示在x的子树中放y个车使其互不影响的方案数。我们只需要考虑x对应的矩形中放多少点以及如何放即可。

用一点组合知识便可得到转移方程，设矩形的长为n，宽为m，当前儿子是a，则：

$f[x][y]=\sum\limits_{b}{f[a][y-b]*f[x][b]}$

再乘上矩形中如何放：

$f[x][z]=\sum\limits_{y}f[x][z-y]*y!C_{n-z+y}^yC_m^y$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll P=1000000007;
int n,m,tot,top,rt;
ll f[510][510],jc[1000010],ine[1000010],jcc[1000010],g[510];
int st[510],fa[510],v[510],ch[510][2];
inline int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<'0'||gc>'9')	{if(gc=='-')	f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>='0'&&gc<='9')	ret=ret*10+(gc^'0'),gc=getchar();
	return ret*f;
}
inline ll c(int a,int b)
{
	if(a<b)	return 0;
	return jc[a]*jcc[a-b]%P*jcc[b]%P;
}
int dfs(int x)
{
	int a=1,b=v[x]-v[fa[x]],i,j,k,y,aa;
	f[x][0]=1;
	for(i=0;i<=1;i++)	if(ch[x][i])
	{
		y=ch[x][i],aa=dfs(y);
		memset(g,0,sizeof(g));
		for(j=0;j<=a;j++)	for(k=0;k<=aa&&j+k<=m;k++)	g[j+k]=(g[j+k]+f[x][j]*f[y][k])%P;
		a+=aa;
		for(j=0;j<=a;j++)	f[x][j]=g[j];
	}
	for(i=min(m,a);i>=0;i--)
	{
		ll tmp=0;
		for(j=0;j<=i;j++)	tmp=(tmp+f[x][i-j]*jc[j]%P*c(a-i+j,j)%P*c(b,j)%P)%P;
		f[x][i]=tmp;
	}
	return a;
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	int i,a;
	for(i=1;i<=n;i++)	v[i]=rd();
	ine[0]=ine[1]=jc[0]=jc[1]=jcc[0]=jcc[1]=1;
	for(i=2;i<=1000000;i++)	jc[i]=jc[i-1]*i%P,ine[i]=(P-ine[P%i]*(P/i)%P)%P,jcc[i]=jcc[i-1]*ine[i]%P;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		while(top&&v[st[top]]>v[i])
		{
			a=st[top],top--;
			if(top&&v[st[top]]>v[i])	ch[st[top]][1]=a,fa[a]=st[top];
			else	ch[i][0]=a,fa[a]=i;
		}
		st[++top]=i;
	}
	while(top>1)	ch[st[top-1]][1]=st[top],fa[st[top]]=st[top-1],top--;
	rt=st[1],dfs(rt);
	printf("%lld",f[rt][m]);
	return 0;
}