python Scipy积分运算大全（integrate模块——一重、二重及三重积分）

python中Scipy模块求取积分的方法：

SciPy下实现求函数的积分的函数的基本使用，积分，高等数学里有大量的讲述，基本意思就是求曲线下面积之和。

其中rn可认为是偏差，一般可以忽略不计，wi可以视为权重。

在SciPy里提供了很多的求各类积分的函数，依据传入参数的不同可以分为两类：一类是传入一个已知的函数和积分的上下限;另一类是传入点集，这个适用于做完物理实现后收集的一些数据，但函数无法确定，但有很多的数据点，那么这些点包络下的面积是多少，也是积分问题，所以在SciPy里有针对点集求积分的函数，形式上函数的参数是数组或者列表。

1、已知函数型求积分

本节以几个问题的形式展示SciPy下如何求积分。

• 问题1：这里假设函数为f(x)=x+1,求积分的上下限为[1,2],数学表达式为：
• 

可以利用Scipy模块下的子模块integrate里的quad函数来求这个数学问题的计算值。

from scipy import integrate
def f(x):
    return x + 1
v, err = integrate.quad(f, 1, 2)
print v

程序的执行结果为：

2.5

问题2：但对于f(x)=ax+b这种函数，a和b肯能未知的这种函数，quad能用么？答案是可以的，quad有形参args可以传入一些参数进去的。

from scipy import integrate
def f(x, a, b):
    return a * x + b
v, err = integrate.quad(f, 1, 2, args = (-1, 1))
print v

程序的执行结果是：

-0.5

问题3：如果遇到积分函数有断点，可以通过quad函数的points给出断点继续求积分。例如：

这里f(x)在x=0的地方存在断点，如果没有给出断点就通过quad计算计算：

from scipy import integrate
import numpy as np
def f(x):
    return 1 / np.sqrt(abs(x))
v, err = integrate.quad(f, -1, 1)
print v

程序运行时：

scipy1801.py:4: RuntimeWarning: divide by zero encountered in double_scalars
  return 1 / np.sqrt(abs(x))
inf

结果是inf(无限、无穷)且有除0错误！ 修改一下：

from scipy import integrate
import numpy as np
def f(x):
    return 1 / np.sqrt(abs(x))
v, err = integrate.quad(f, -1, 1, points=[0])
print v

结果是：

4

我们可以绘制一下这个函数的可视化曲线：

from scipy import integrate
import numpy as np
def f(x):
    return 1 / np.sqrt(abs(x))
v, err = integrate.quad(f, -1, 1, points=[0])
print v

import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d.axes3d import Axes3D
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3))
x = np.linspace(-1, 1, 10000)
ax.plot(x, f(x), lw=2)
ax.fill_between(x, f(x), color='green', alpha=0.5)
ax.set_xlabel("$x$", fontsize=18)
ax.set_ylabel("$f(x)$", fontsize=18)
ax.set_ylim(0, 25)
plt.show()

得到如下的结果图： 

2 给出点集的积分

在无法确认积分函数的情况下，给出一些序列也可做积分。

• 问题4：求积分而是有这个函数的10个样本数据，那传入quad函数的不是f(x)=x， 而是对应的各个(xi,yi)。

from scipy import integrate
import numpy as np
def f(x):
    return np.sqrt(x)
x = np.linspace(0, 2, 10)
y = f(x)
v = integrate.trapz(y, x)
print v

程序的运行结果：

1.8652953655957172

3 多重积分

SciPy下的二重积分可以用dblquad函数来计算、三重积分可以用tplquad函数来计算而关于f(x1,x2,⋯,xn)的多重积分可以使用nquad函数。

• 二重积分dblquad函数来计算，假设有一个函数f(x,y)需要计算其二重积分。
• 

如何用Scipy的dblquad函数呢？ 对于一个泛型的二重积分的一般表达式格式为：

那么dblquad函数的第一个形参应是f(x,y)、第2、3、4、5分别是a、b、g(x)、h(x),也就是说dblquad函数的第4和5是一个函数。

from scipy import integrate
import numpy as np
def f(x, y):
    return x * y
def h(x):
    return x
v, err = integrate.dblquad(f, 1, 2, lambda x: 1, h)
print v

程序的执行结果：

1.125

三重积分可以使用tplquad来计算。三重积分的一般表达式格式为：

• 而tplquad函数调用的形式为：

tqlquad(f, a, b, g, h, q, r)

其中f、g、h、q、r均为函数。下面以计算

用Python编写的程序如下所示：

from scipy import integrate
import numpy as np
f = lambda x, y, z : x
g = lambda x : 0
h = lambda x : (1 - x) / 2
q = lambda x, y : 0
r = lambda x, y : 1 - x - 2 * y
v, err = integrate.tplquad(f, 0, 1, g, h, q, r)
print v

程序执行结果：

0.02083333333