manacher算法 详解+模板

manacher算法可以解决字符串的回文子串长度问题。

个人感觉szy学长讲的非常好，讲过之后基本上就理解了。

那就讲一下个人的理解。（参考了szy学长的ppt）

如果一个回文子串的长度是偶数，对称轴会落在两个字符中间。

首先两个字符中间的这个位置就很难表示。

所以我们在两个字符中间加上没有用的字符，比如说'#'。开头结尾也加上。

例如：abcba --> #a#b#c#b#a#

这样我们能很方便的表示每一个位置。

manacher算法最终的目的是求出一个数组pl[i]，代表以i为回文中心（也就是对称轴）的最长回文子串的回文半径。

回文半径指的是回文子串的长度除以二之后向上取整。

比如：#a#b#a#的回文半径就是4。

考虑用递推的方法求出pl数组。

首先我们知道pl[1]=1（特殊记一下）。

在递推的过程中维护一个np表示使i+pl[i]最大的一个i。

计算f[i]的时候，先考虑使用已知的信息求出f[i]。

如果i<=np+pl[np]，意味着i被以np为回文中心的最长回文子串“覆盖”了。

下面的图用红色表示以np为回文中心的最长回文子串，用绿色表示以i为回文中心的最长回文子串。

这时有两种情况：

1.不仅i被覆盖，以i为回文中心的最长回文子串也被完全覆盖了。

这个时候由于对称性，pl[i]=pl[2*np-i]。

2.虽然i被覆盖，但是以i为回文中心的最长回文子串没有被完全覆盖。

这个时候我们只能保证np+pl[np]以内的对称性（蓝色部分）。

也就是说，pl[i]=pl[np]+np-i。

我们并不知道是哪种情况，所以只能对这两种情况分别求值并取其中的最小值。

之后如果还能继续向外拓展回文部分，就类似暴力的做法，一下一下向外拓展。

最后更新一下np。

求出的pl是适用于新串的（就是混了一堆‘#’的那个串）。

不难发现，对于原串，以i为中心的最长回文子串的长度为pl[i]-1，这个串的开始位置为(i-pl[i])/2+1（向下取整）。

来一道模板题练练：洛谷 P3805 【模板】manacher算法

题目传送门

这里不得不说，szy学长给的代码真是又简洁又明了。

吊打网上那些参杂各种特判的冗长又难读的代码。

膜拜orz。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int n;
 char a[];
 char s[];
 int pl[];

 int main()
 {
     scanf("%s",a+);
     int al=strlen(a+);
     for(int i=;i<=al;i++)
         s[++n]='#',s[++n]=a[i];
     s[++n]='#';
     int np=;
     pl[]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         pl[i]=min(pl[*np-i],pl[np]+np-i);
         for(;i+pl[i]<=n&&s[i+pl[i]]==s[i-pl[i]];pl[i]++);
         if(i+pl[i]>np+pl[np])np=i;
     }
     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++)ans=max(ans,pl[i]-);
     printf("%d",ans);
     return ;
 }