●BZOJ 3512 DZY Loves Math IV

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3512

题解：

$$求ANS=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{M}\phi(ij)\quad N\leq 10^5\;M\leq 10^9$$

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杜教筛

因为N比较小，所以从这里入手：

设$sum(n,M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(ni)$

则答案为$ANS=\sum_{n=1}^{N}sum(n,M)$

考虑如何求$sum(n,M)$

首先按照唯一分解定理，$n={p_1}^{a_1}\times {p_2}^{a_2}\times\cdots\times {p_k}^{a_k}$

另$n'={p_1}^{1}\times {p_2}^{1}\times\cdots\times {p_k}^{1}，P=\frac{n}{n'}$

由$\phi$的定义可得：$$\phi(n)=P\phi(\frac{n}{P})=P\phi(n')$$

所以$$sum(n,M)=P\times sum(n',M)$$

（现在n'没有平方质因子，即$|\mu(n')|=1$）

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第一阶段已经结束，我们看看$sum(n',M)$又该怎么求？

任取一个n'的质因子，我们这里取最小的那个，用miniP表示：

显然$gcd(miniP,\frac{n'}{miniP})=1，即miniP和\frac{n'}{miniP}互质$

从$sum(n',M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(n'i)$这个定义入手，接下来分两种情况：

（一）、miniP不是i的因子

那么有$$\phi(n'i)=\phi(miniP)\phi(\frac{n'}{miniP}i)=(miniP-1)\phi(\frac{n'}{miniP}i)$$

先假设$sum(n',M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(n'i)$中枚举的i都与miniP互质，那么得到：

$$\begin{aligned}
sum(n',M)&=\sum_{i=1}^{M}\phi(n'i)\\
&=\sum_{i=1}^{M}(miniP-1)\phi({\frac{n'}{minip}i})\\
&=(miniP-1)sum(\frac{n'}{minip},M)\\
\end{aligned}$$

（二）、miniP是i的因子

那么有$$\phi(n'i)=miniP\phi(\frac{n'}{miniP}i)$$

显然对于上面的$sum(n',M)=(miniP-1)sum(\frac{n'}{minip},M)$而言，每当枚举到一个i与miniP不互质时，

就会少加一个$\phi(\frac{n'}{miniP}i)$

现在我们希望把这些漏掉的加回来，设漏加的总和为w，则：

$$\begin{aligned}
w&=\sum_{miniP|i}\phi(\frac{n'}{miniP}i)\\
&=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{M}{miniP} \rfloor}\phi(\frac{n'}{miniP}(i\times miniP))\\
&=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{M}{miniP} \rfloor}\phi(n'i)\\
&=sum(n',\lfloor \frac{M}{miniP} \rfloor)
\end{aligned}$$

所以，综上两种情况，我们得到：

$$sum(n',M)=(miniP-1)sum(\frac{n'}{minip},M)+sum(n',\lfloor \frac{M}{miniP} \rfloor)$$

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差不多就这样了，我们枚举每个n，

分别求出：

$sum(n,M)=P\times sum(n',M)=P\times((miniP-1)sum(\frac{n'}{minip},M)+sum(n',\lfloor \frac{M}{miniP} \rfloor))$

对于每个sum()，进行递归求解，

到了递归的最底层时，

若n==1，那么$sum(1,M)=\sum_{i=1}^{M}\phi(i)$，用杜教筛求解。

若m==1，那么$sum(n,1)=phi(n)，直接返回即可$

另外要先预处理出前$M^{\frac{2}{3}}个phi()$的前缀和，便于降低杜教筛的复杂度。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 100050
#define DJM 1000000
#define mod 1000000007
using namespace std;
struct Hash_Table{
	#define Hmod 1425367
	int org[DJM],val[DJM],nxt[DJM],head[Hmod],hnt;
	Hash_Table(){hnt=2;}
	void Push(int x,int v){
		static int u; u=x%Hmod;
		org[hnt]=x; val[hnt]=v; nxt[hnt]=head[u]; head[u]=hnt++;
	}
	int Find(int x){
		static int u; u=x%Hmod;
		for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
			if(org[i]==x) return val[i];
		return -1;
	}
}H;
int P[DJM+50],miniP[DJM+50],phi[DJM+50],sphi[DJM+50];
int sum[MAXN];
int N,M;
void Sieve(){
	static bool np[DJM+50];
	static int prime[DJM+50],pnt;
	phi[1]=1; P[1]=1; miniP[1]=1;
	for(int i=2;i<=DJM;i++){
		if(!np[i]) prime[++pnt]=i,phi[i]=i-1,P[i]=1,miniP[i]=i;
		for(int j=1;j<=pnt&&i<=DJM/prime[j];j++){
			np[i*prime[j]]=1; miniP[i*prime[j]]=prime[j];
			if(i%prime[j]){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
				P[i*prime[j]]=P[i];
			}else{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				P[i*prime[j]]=P[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
	//for(int i=1;i<=DJM;i++) printf(":P=%d  miniP=%d  phi=%d\n",P[i],miniP[i],phi[i]);
	for(int i=1;i<=DJM;i++) sphi[i]=(1ll*phi[i]+sphi[i-1])%mod;
}
int DJ_Sieve(int m){
	if(m<=DJM) return sphi[m];
	if(H.Find(m)!=-1) return H.Find(m);
	int now=(1ll*m*(1+m)/2)%mod;
	for(int i=2,last;i<=m;i=last+1){
		last=m/(m/i);
		now=(1ll*now-1ll*(last-i+1)*DJ_Sieve(m/i)%mod+mod)%mod;
	}
	H.Push(m,now);
	return now;
}
int S(int n,int m){
	if(m==0) return 0;
	if(m==1) return phi[n];
	if(n==1) return DJ_Sieve(m);
	if(m==M&&sum[n]) return sum[n];
	int now=(1ll*(miniP[n]-1)*S(n/miniP[n],m)+S(n,m/miniP[n]))%mod;
	if(m==M) sum[n]=now;
	if(now<0) printf("S %d %d\n",n,m);
	return now;
}
int main(){
	Sieve();
	scanf("%d%d",&N,&M);
	int ans=0;
	for(int n=1;n<=N;n++)
		ans=(1ll*ans+1ll*P[n]*S(n/P[n],M))%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}