【bzoj 3601】一个人的数论 （莫比乌斯反演+伯努利数）

题解：

　　（吐槽：网上题解那个不严谨猜测真是没谁了……关键是还猜得辣么准……）

　　直接化简到求和那一段：

$f_{d}(n)=\sum_{t|n}\mu(t)t^{d}\sum_{i=1}^{\frac{n}{t}}i^{d}$

$设S_{d}(T)=\sum_{i=1}^{T}i^{d}$

　　那这个是什么呢？伯努利数（我会说我百度找到的吗……）

百度

递推公式

$s_{p}(T)=\sum_{i=1}^{p+1}\frac{(-1)^{p+1-i}C_{p+1}^{i}B_{p+1-i}}{p+1}n^{i}$(这个是百度那个公式化过来的)

　　然后$n^{i}$前面那一堆玩意就是网上题解的$a_{i}$。

　　接下来的化简我就不解释了……http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/4033399.html

　　然后我们只要求出C和B这题就没了。（貌似可以把d的范围再扩10倍233）

代码：

　　

 #include<cstdio>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const ll mod=1e9+;
 const int N=;
 inline ll read(){
     ll s=,k=;char ch=getchar();
     while(ch<''|ch>'')    ch=='-'?k=-:,ch=getchar();
     while(ch>&ch<='')    s=s*+(ch^),ch=getchar();
     return s*k;
 }
 inline ll powmod(ll a,ll b){
     ll ans=;
     if(b<)
         return powmod(powmod(a,mod-),-b);
     a%=mod;
     while(b){
         if(b&) ans=ans*a%mod;
         b>>=;a=a*a%mod;
     }return ans;
 }
 ll w,d;
 ll p[N],pk[N];
 ll tot=;
 inline ll calc(int n){
     ll t=powmod(tot,n);
     for(int i=;i<=w;i++){
         t=t*(1ll-powmod(p[i],d-n))%mod;
     }
     if(t<) t+=mod;
     return t;
 }
 ll c[][],b[];
 int main(){
     d=read(),w=read();
     ll n=w;
     for(int i=;i<=n;i++){
         p[i]=read(),pk[i]=read();
         tot=tot*powmod(p[i],pk[i])%mod;
     }
     c[][]=;
     for(int i=;i<=;i++){
         c[i][]=;
         for(int j=;j<=i;j++)
             c[i][j]=(c[i-][j]+c[i-][j-])%mod;
     }
     b[]=;
     for(int i=;i<=;i++){
         for(int j=;j<i;j++)
             b[i]=(b[i]+c[i+][j]*b[j])%mod;
         b[i]=b[i]*(-powmod(i+,mod-))%mod+mod;
         b[i]%=mod;
     }
     ll ans=;
     ll inv=powmod(d+,mod-);
     for(int i=;i<=d+;i++){
         ll temp=((d+-i&)?-:)*c[d+][i]*b[d+-i]%mod*inv%mod;
         if(temp==)
             continue;
         temp=temp*calc(i)%mod;
         ans+=temp;
         ans%=mod;
     }
     printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
 }
 /*
 3 2
 2 1
 5 1
 */