LOJ#2304 泳池

题意：有一个1001 * n的矩形，每个位置有q的概率为1。求紧贴下边界的最大的全1子矩形面积恰为k的概率。n <= 1e9，k <= 1000。

解：只需考虑每一列最下面一个0的位置。

首先有个n = 1的部分分，答案显然就是q^k(1-q)。

中间还有些部分分，什么打表啊笛卡尔树上DP啊...感觉有毒。

接下来就是一个nk的DP，直接获得70分...感觉有毒。

首先发现这个恰好为k不好处理，就考虑计算<= k和<= k - 1，然后相减。注意因为面积全是整数而我们不是求期望，所以不会有非整数的出现。

考虑到下边界一定被若干个0分隔开，且每两个相邻0之间距离不大于k。于是我们按照0来DP。设f_i表示1001 * i的矩形符合条件的概率。那么每次枚举这一段下边界的最后一个0在j位置，那么概率就是f_j-1 * (1 - q) * (长为i-j的一段最下面全是1，符合条件的概率)。

考虑怎么求最后那个东西。

发现把最下面一行去掉之后好像有点像一个子问题？然而好像不行...实际上是一种类似最值分治的做法。

考虑这些列中最低的一列在哪(枚举得到)，然后左右两边就是一个真实子问题，而中间这一列就是n = 1的部分分。但是还是不知道最低一列到底有多低...发现k只有1000，所以就可以枚举？

然而正解是多加一维状态表示高度。设g_i,j表示1001 * i的矩形，最下面j * i的矩形全是1，且满足条件的概率。设j + 1行第一个0在p位置，那么g_i,j += g_p-1,j+1 * g_i-p,j * q^j * (1-q)。

边界条件就是g_0,x = 1。

这东西难调死了......注意f_n其实等于g_n,0。

 /**
  * There is no end though there is a start in space. ---Infinity.
  * It has own power, it ruins, and it goes though there is a start also in the star. ---Finite.
  * Only the person who was wisdom can read the most foolish one from the history.
  * The fish that lives in the sea doesn't know the world in the land.
  * It also ruins and goes if they have wisdom.
  * It is funnier that man exceeds the speed of light than fish start living in the land.
  * It can be said that this is an final ultimatum from the god to the people who can fight.
  *
  * Steins;Gate
  */

 #include <bits/stdc++.h>

 typedef long long LL;
 const int N = , MO = ;

 int n, K, q, g[N][N], f[N], pw[N];

 inline int qpow(int a, int b) {
     int ans = ;
     while(b) {
         if(b & ) ans = 1ll * ans * a % MO;
         a = 1ll * a * a % MO;
         b = b >> ;
     }
     return ans;
 }

 inline int cal(int k) {
     if(k < ) return ;
     if(k == ) return qpow( - q + MO, n);
     memset(f, , sizeof(f));
     memset(g, , sizeof(g));

     for(int i = ; i <= k + ; i++) {
         g[][i] = ;
     }

     for(int i = ; i <= k; i++) {
         for(int j = k / i; j >= ; j--) {
             /// g[i][j]
             g[i][j] = g[i][j + ];
             for(int p = ; p <= i; p++) {
                 (g[i][j] += 1ll * g[p - ][j + ] * g[i - p][j] % MO * pw[j] % MO * ( - q + MO) % MO) %= MO;
             }
             //printf("g %d %d = %d \n", i, j, g[i][j]);
         }
     }

     //puts("");

     /// cal f
     f[] = ;
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         /// f[i]
         if(i <= k) f[i] = g[i][];
         for(int j = std::max(, i - k); j <= i; j++) {
             (f[i] += 1ll * f[j - ] * ( - q + MO) % MO * g[i - j][] % MO) %= MO;
         }
         //printf("f %d = %d \n", i, f[i]);
     }

     //printf("\n\n");

     return f[n];
 }

 /*
 2 2 1 2
 */

 int main() {
     int x, y;
     scanf("%d%d%d%d", &n, &K, &x, &y);
     q = 1ll * x * qpow(y, MO - ) % MO;
     //printf("q = %d \n", q);
     pw[] = ;
     for(int i = ; i <= K; i++) {
         pw[i] = 1ll * pw[i - ] * q % MO;
     }

     if(n == ) {
         int ans = 1ll * qpow(q, K) * ( - q + MO) % MO;
         printf("%d\n", ans);
         return ;
     }

     int ans = (cal(K) - cal(K - ) + MO) % MO;
     printf("%d\n", ans);

     return ;
 }

70分代码

于是我们来个矩阵快速幂优化，获得了90分的好成绩！

 #include <bits/stdc++.h>

 typedef long long LL;
 const int N = , MO = ;

 int n, K, q, g[N][N], f[N], pw[N];
 int A[][], ANS[][], C[][];

 inline int qpow(int a, int b) {
     int ans = ;
     while(b) {
         if(b & ) ans = 1ll * ans * a % MO;
         a = 1ll * a * a % MO;
         b = b >> ;
     }
     return ans;
 }

 inline void mulself(int k) {
     memset(C, , sizeof(C));
     for(int p = ; p <= k; p++) {
         for(int j = ; j <= k; j++) {
             for(int i = ; i <= k; i++) {
                 (C[i][j] += 1ll * A[i][p] * A[p][j] % MO) %= MO;
             }
         }
     }
     memcpy(A, C, sizeof(A));
     return;
 }

 inline void mul(int k) {
     memset(C, , sizeof(C));
     for(int p = ; p <= k; p++) {
         for(int j = ; j <= k; j++) {
             for(int i = ; i <= k; i++) {
                 (C[i][j] += 1ll * ANS[i][p] * A[p][j] % MO) %= MO;
             }
         }
     }
     memcpy(ANS, C, sizeof(C));
     return;
 }

 inline int cal(int k) {
     if(k < ) return ;
     if(k == ) return qpow( - q + MO, n);
     memset(f, , sizeof(f));
     memset(g, , sizeof(g));

     for(int i = ; i <= k + ; i++) {
         g[][i] = ;
     }

     for(int i = ; i <= k; i++) {
         for(int j = k / i; j >= ; j--) {
             /// g[i][j]
             g[i][j] = g[i][j + ];
             for(int p = ; p <= i; p++) {
                 (g[i][j] += 1ll * g[p - ][j + ] * g[i - p][j] % MO * pw[j] % MO * ( - q + MO) % MO) %= MO;
             }
             //printf("g %d %d = %d \n", i, j, g[i][j]);
         }
     }

     //puts("");

     /// cal f
     if(n <= ) {
         f[] = ;
         for(int i = ; i <= n; i++) {
             /// f[i]
             if(i <= k) f[i] = g[i][];
             for(int j = std::max(, i - k); j <= i; j++) {
                 (f[i] += 1ll * f[j - ] * ( - q + MO) % MO * g[i - j][] % MO) %= MO;
             }
             //printf("f %d = %d \n", i, f[i]);
         }
         return f[n];
     }
     else {
         memset(ANS, , sizeof(ANS));
         for(int i = ; i <= k; i++) {
             ANS[i][i] = ;
         }
         memset(A, , sizeof(A));
         for(int i = ; i < k; i++) {
             A[i + ][i] = ;
         }
         for(int i = ; i <= k; i++) {
             A[i][k] = 1ll * g[k - i][] * ( - q + MO) % MO;
         }
         int b = n - k;
         while(b) {
             if(b & ) {
                 mul(k);
             }
             mulself(k);
             b = b >> ;
         }
         /// mul g ans
         int ans = ;
         for(int i = ; i <= k; i++) {
             (ans += 1ll * g[i][] * ANS[i][k] % MO) %= MO;
         }
         return ans;
     }
 }

 /*
 2 2 1 2
 */

 int main() {
     int x, y;
     scanf("%d%d%d%d", &n, &K, &x, &y);
     q = 1ll * x * qpow(y, MO - ) % MO;
     //printf("q = %d \n", q);
     pw[] = ;
     for(int i = ; i <= K; i++) {
         pw[i] = 1ll * pw[i - ] * q % MO;
     }

     if(n == ) {
         int ans = 1ll * qpow(q, K) * ( - q + MO) % MO;
         printf("%d\n", ans);
         return ;
     }

     int ans = (cal(K) - cal(K - ) + MO) % MO;
     printf("%d\n", ans);

     return ;
 }

90分代码

弃疗了弃疗了...