harmakik

Solution

　　
　　对于原树一个节点\(x\)：
　　
　　\(f_x(h)\)表示，\(x\)作为一个深度为\(h\)的点时，\(x\)及其子树的安排方案有多少（不考虑\(x\)具体在深度为\(h\)的哪个点）
　　　　
　　\(F_x(h)\)表示，对于一个固定的深度为\(h\)的节点\(y\)，\(x\)在\(y\)或其子树中，\(x\)及其子树的安排方案有多少。
　　
　　则有关系：
\[
F_x(h)=\sum_{i\ge h}f_x(i)*2^{i-h}
\]
　　对于叶子：
\[
F_x(h)=[h\le h_x]2^{h_x-h}
\]
　　已知二者都可以表示成这些形式
\[
f_x(h)=\sum_{i\geq 0}c_i*2^{-ih}\\
F_x(h)=\sum_{i\geq 0}c_i*2^{-ih}
\]
　　对于叶子\(x\)，赋值后直接回溯：
\[
c_1=2^{h_x}
\]
　　
　　依照60分DP，可以推出由儿子到自己的转移（两个\(c\)分别是两个\(F\)的\(c\)，\(c'\)是转移后的\(f_x\)的\(c\)）：
\[
\begin{aligned}
f_x(h)&=F_l(h+1)F_r(h+1)\\
&=(\sum_{i\geq 0}c_i2^{-i(h+1)})(\sum_{j\geq 0}c_j2^{-j(h+1)})\\
&=(\sum_{i\geq 0}\frac{c_i}{2^i}2^{-ih})(\sum_{j\geq 0}\frac{c_j}{2^j}2^{-jh})\\
&=\sum_{i\ge0}{c'}_i2^{-ih}\\
\end{aligned}
\]
　　当然，也可以在卷积完之后每个\(c_i\)除去\(2^i\)
　　
　　观察到这个卷积，再考虑边界，\(c\)的下标为\(0...siz[x]\)，\(siz[x]\)为\(x\)子树中叶子数。暴力卷积，用树上背包思路分析，这一步的复杂度是全局\(\mathcal O(n^2)\)的
　　
　　得到自己的\(f\)后，由于父亲要使用自己的\(F\)，所以根据定义式由\(f\)推出\(F\)：
\[
\begin{aligned}
F_x(h)&=\sum_{h \le i<maxh}f_x(i)*2^{i-h}\\
&=\sum_{h \le i<maxh}\sum_{j\ge 0}c_j*2^{i(1-j)-h}\\
&=\sum_{j\ge0}\frac{c_j}{2^h}\sum_{h \le i<maxh}(2^{(1-j)})^i\\
&=\sum_{j\ge0}\frac{c_j}{2^h}\frac{(2^{1-j})^{maxh}-(2^{1-j})^{h}}{(2^{1-j})-1}\\
&=\sum_{j\ge 0}c_j(\frac{2^{(1-j)maxh}}{2^{1-j}-1}2^{-h}-\frac{1}{2^{1-j}-1}2^{-jh})
\end{aligned}
\]
　　答案即\(F_1(0)\)，\(\sum c_i\)
　　
　　PS：\(c_0\)没用