BZOJ 2159: Crash 的文明世界（树形dp+第二类斯特林数+组合数）

题意

给定一棵 \(n\) 个点的树和一个常数 \(k\) , 对于每个 \(i\) , 求

\[\displaystyle S(i) = \sum _{j=1} ^ {n} \mathrm{dist}(i, j)^k
\]

\(n ≤ 50000, k ≤ 150\)

题解

先划划那个 \(S(i)\) 的式子

我们需要知道一个化 \(x^n(n \ge 0)\) 的东西qwq

\[\displaystyle x^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\underline k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^k \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{\overline k}
\]

这个式子十分的有用，可以转化很多幂指数的东西为斯特林数。

\[\displaystyle S(i)=\sum _{j=1}^{n}\sum_{l=0}^{k}\begin{Bmatrix} k \\ l \end{Bmatrix} \mathrm{dist}(i,j)^{\underline l}
\]

然后换个位置

\[\displaystyle S(i)=\sum_{l=0}^{k}\begin{Bmatrix} k \\ l \end{Bmatrix}\sum _{j=1}^{n} \mathrm{dist}(i,j)^{\underline l}
\]

然后用一下组合数的一个定义式子：

\[\displaystyle \binom n k = \frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underline k}}{k!}
\]

\[\therefore \displaystyle n^{\underline k}=\binom n k k!
\]

这也可以导出下降幂了

\[\displaystyle S(i)=\sum_{l=0}^{k}\begin{Bmatrix} k \\ l \end{Bmatrix} l!\sum _{j=1}^{n} \binom {\mathrm{dist}(i,j)} l
\]

前面那一部分显然是稳定不变的，我们就可以去维护第二部分啦

令 $$\displaystyle dp[i][l]=\sum _{j=1}^{n} \binom {\mathrm{dist}(i,j)} l$$

由于是组合数我们就可以直接套用它的一个递推式来转移了（因为转移的时候，所有 \(\mathrm{dist}(i,j)\) 同增减 \(1\) ）

\[\displaystyle \binom n k = \binom {n-1} {k} + \binom {n-1} {k-1}
\]

同样的，就有 \(dp[i][l]=dp[j][l]+dp[j][l-1]\) 此处 \(j\) 是 \(i\) 的一个儿子。（这个递推式用来转移真的是巧妙啊qwq）

然后我们要算两个 \(dp\) 值，一个 \(f_{i,l}\) 统计子树的，一个 \(g_{i,l}\) 统计子树外的。

统计子树外的时候，要先算父亲那过来的贡献，然后再算兄弟的贡献。

算兄弟的贡献可以用父亲贡献减掉自己的贡献（见代码中分步写的 \(g_{i,j}\) 的转移） 而且要先转移，再遍历

所以最后 \(O(nk)\) 个状态， \(O(1)\) 的转移，总复杂度就是 \(\Theta(nk)\) .

那个解压输入直接拷贝了 Hany01 大佬的 qwq不会写

代码

/**************************************************************
    Problem: 2159
    User: zjp_shadow
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:4156 ms
    Memory:67680 kb
****************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("2159.in", "r", stdin);
    freopen ("2159.out", "w", stdout);
#endif
}

const int Mod = 10007, N = 50010;

vector<int> G[N];

int n, k, S[160][160];
int fac[160];

void Init(int maxn) {
    S[0][0] = 1; For (i, 1, maxn) { S[i][1] = 1; For (j, 1, i) S[i][j] = (j * S[i - 1][j] % Mod + S[i - 1][j - 1]) % Mod; }
    fac[0] = fac[1] = 1; For (i, 2, maxn) fac[i] = fac[i - 1] * i % Mod;
}

int f[N][160], sz[N];

void Dfs1(int u, int fa) {
    f[u][0] = 1; sz[u] = 1;
    For (i, 0, G[u].size() - 1) {
        int v = G[u][i]; if (v == fa) continue ;
        Dfs1(v, u); sz[u] += sz[v];
        (f[u][0] += f[v][0]) %= Mod;
        For (j, 1, k) (f[u][j] += f[v][j] + f[v][j - 1]) %= Mod;
    }
}

int g[N][160];

void Dfs2(int u, int fa) {
    g[u][0] = (n - sz[u]) % Mod;
    if (fa) {
        For (i, 1, k) {
            g[u][i] = g[fa][i] + g[fa][i - 1];
            g[u][i] += f[fa][i] - (f[u][i] + f[u][i - 1]);
            g[u][i] += f[fa][i - 1] - (f[u][i - 1] + (i > 1 ? f[u][i - 2] : 0));
            g[u][i] = (g[u][i] % Mod + Mod) % Mod;
        }
    }
    For (i, 0, G[u].size() - 1) { int v = G[u][i]; if (v == fa) continue ; Dfs2(v, u); }
}

int ans[N];

inline void Input_Umcompress()
{
    register int l, now, a, b, q, tmp, u, v;
    n = read(), k = read(), l = read(), now = read(), a = read(), b = read(), q = read();
    For(i, 1, n - 1)
        now = (now * a + b) % q, tmp = i < l ? i : l,
        u = i - now % tmp, v = i + 1, G[u].push_back(v), G[v].push_back(u);
}

int main () {
    File(); Init(150);
    Input_Umcompress();
    /*n = read(); k = read();
    For (i, 1, n - 1) {
        int u = read(), v = read();
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }*/

    Dfs1(1, 0); Dfs2(1, 0);

    For (i, 1, n) {
        For (l, 0, k)
            (ans[i] += S[k][l] * fac[l] % Mod * (f[i][l] + g[i][l]) % Mod) %= Mod;
        printf ("%d\n", ans[i]);
    }

    return 0;
}