loj #6261 一个人的高三楼 FFT + 组合数递推

$\color{#0066ff}{ 题目描述 }$

一天的学习快要结束了，高三楼在晚自习的时候恢复了宁静。

不过，$HSD$ 桑还有一些作业没有完成，他需要在这个晚自习写完。比如这道数学题：

1、给出一个数列，求它的前 $i$ 项和 $S_i$，$i\in \{x|1\le x\le n,x\in \mathbb{N}\}$

HSD 桑擅长数学，很快就把这题秒了……

然而还有第二题：

2、如果把上一问的前 $i$ 项和看成一个新数列，请求出它的前 $i$ 项和

看完第二题，还有第三题……HSD 桑已经预感到情况不妙了。

HSD 桑大致看了看题，发现有些规律。其实就是在求 $k$ 次前缀和。如果我们借用函数迭代的标记，就是在求 $S_n^{(k)}$……

HSD 桑还有很多作业要写，请你帮助他完成这项作业。

$\color{#0066ff}{输入格式}$

第一行，两个正整数 $n,k$，$n$ 表示数列的长度，$k$ 的意义如题目描述；第二行，$n$ 个正整数，表示这个数列，两个数之间用一个空格隔开。

$\color{#0066ff}{输出格式}$

共 $n$ 行，每行一个数，第 $i$ 行表示 $S_i^{(k)}$，结果可能会非常大，请对 $998244353$ 取模后输出。

$\color{#0066ff}{输入样例}$

$\color{#0066ff}{输出样例}$

$\color{#0066ff}{数据范围与提示}$

样例解释 1

对于这个序列，求它的 11 次前缀和，就是输出这个数列的前缀和咯……

样例解释 2

要求这个数列的 33 次前缀和，这个数列的 11 次前缀和为 {1,3,6,10}{1,3,6,10}，22 次前缀和为 {1,4,10,20}{1,4,10,20}，33 次前缀和即为 {1,5,15,35}{1,5,15,35}。

$\color{#0066ff}{ 题解 }$

天真的我一看，快速幂套FFT，傻逼题啊，于是开始切

然后。。。。各种TLE

然后发现，根组合数有关

比如

a b c d

a a+b a+b+c a+b+c+d

a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d

a 3a+b 6a+3b+c 10a+6b+3c+d

这。。。

1 1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

这TM前面的系数居然TM是组合数的一列

但是尼玛k是$2^{60}$啊，怎么求组合数？？？

这时gw提醒了我，第一项就是1啊，然后后面随便成一下$O(n)$递推就行了啊

恍然大悟自己多么愚蠢qwq

刚好是倒过来的，所以不用翻转，直接FFT出ans

#include<bits/stdc++.h>

#define LL long long

LL in() {

	char ch; LL x = 0, f = 1;

	while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f);

	for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48));

	return x * f;

}

using std::vector;

const int mod = 998244353;

const int maxn = 4e6 + 100;

int len, r[maxn];

LL c;

LL ksm(LL x, LL y) {

	LL re = 1LL;

	while(y) {

		if(y & 1) re = re * x % mod;

		x = x * x % mod;

		y >>= 1;

	}

	return re;

}

void FNTT(vector<int> &A, int flag) {

	A.resize(len);

	for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]);

	for(int l = 1; l < len; l <<= 1) {

		int w0 = ksm(3, (mod - 1) / (l << 1));

		for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) {

			int w = 1, a0 = i, a1 = i + l;

			for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = 1LL * w * w0 % mod) {

				int tmp = 1LL * A[a1] * w % mod;

				A[a1] = ((A[a0] - tmp) % mod + mod) % mod;

				A[a0] = (A[a0] + tmp) % mod;

			}

		}

	}

	if(!(~flag)) {

		std::reverse(A.begin() + 1, A.end());

		int inv = ksm(len, mod - 2);

		for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 1LL * A[i] * inv % mod;

	}

}

vector<int> operator * (vector<int> A, vector<int> B) {

	int tot = A.size() + B.size() - 1;

	for(len = 1; len <= tot; len <<= 1);

	for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));

	FNTT(A, 1), FNTT(B, 1);

	vector<int> ans;

	ans.resize(len);

	for(int i = 0; i < len; i++) ans[i] = 1LL * A[i] * B[i] % mod;

	FNTT(ans, -1);

	ans.resize(tot);

	return ans;

}

int main() {

	int n = in();

	c = in() % mod;

	vector<int> a, b;

	for(int i = 1; i <= n; i++) a.push_back(in());

	LL now = 1;

	for(int i = 1; i <= n; i++) {

		b.push_back((int)(now % mod));

		now = (1LL * now * (c + i - 1) % mod) * ksm(i, mod - 2) % mod;

	}

	a = a * b;

	for(int i = 0; i < n; i++) printf("%d\n", a[i]);

	return 0;

}