NOIP2018提高组Day1 解题报告

前言

关于\(NOIP2018\)，详见此博客：NOIP2018学军中学游记（11.09~11.11）。

这次\(NOIP\ Day1\)的题目听说很简单（毕竟是三道原题），然而我\(T3\)依然悲剧地写炸了。

很奇怪啊，毕竟在几乎所有民间数据中我这题都\(AC\)了... ...

\(T1\)：铺设道路（点此看题面）

另一个题面

我的思路是，每个元素肯定都是由其左右两边第一个比它小的数转移而来的。

于是就开了两个单调栈，前后各扫一遍，求出了答案。

然而貌似还有更简单的解法？但我不会。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100000
using namespace std;
int n,a[N+5],s[N+5],Stack[N+5];
int main()
{
    register int i,ans=0,Top=0;
    for(scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=n;++i)//从前往后，求出第一个小于等于a[i]的数
    {
        while(Top&&Stack[Top]>=a[i]) --Top;//单调栈
        s[i]=a[i]-Stack[Top],Stack[++Top]=a[i];//将a[i]-Stack[Top]存储下来，然后将a[i]加入栈
    }
    for(Top=0,i=n;i;--i)//从后往前，求出第一个小于a[i]的数
    {
        while(Top&&Stack[Top]>a[i]) --Top;//单调栈，注意前面加了=，这题就不能加了，否则会重复计算
        ans+=min(s[i],a[i]-Stack[Top]),Stack[++Top]=a[i];//统计答案
    }
    return printf("%d",ans),0;
}

\(T2\)：货币系统（点此看题面）

比较裸的完全背包，但是我不会。

我的思路就是先\(sort\)一遍，然后暴力更新每种价值是否能由之前的价值组合而成。

这样显然会\(TLE\)。

于是我又考虑再用一个\(lst\)数组存储每种价值上一次是被价值为多少的元素更新的，如果上次就是由当前元素更新的，则可直接\(break\)。

这样一优化就\(AC\)了（实际上加上这个优化之后与完全背包应该是等价的）。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100
#define P 25000
using namespace std;
inline void Gmax(int &x,int y) {x<y&&(x=y);}
int n,a[N+5],vis[P+5],lst[P+5];
int main()
{
    register int T,i,j,k,ans,Max;
    for(scanf("%d",&T);T;--T)
    {
        for(scanf("%d",&n),ans=n,Max=0,i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]),Gmax(Max,a[i]);//求最大值
        for(vis[0]=T,sort(a+1,a+n+1),i=1;i<=n;++i)//现将a[i]排序一遍，并标记价值0已被访问
        {
            if(vis[a[i]]^T)//如果当前的价值不可以被之前的价值组合而成
            {
                for(j=Max;~j;--j)//枚举值
                {
                    if(vis[j]^T) continue;//如果当前值不能被之前的价值组合而成，跳过
                    for(k=1;1LL*a[i]*k+j<=Max;++k)//更新
                    {
                        if(vis[a[i]*k+j]^T||lst[a[i]*k+j]^a[i]) vis[a[i]*k+j]=T,lst[a[i]*k+j]=a[i];//如果没访问过，或不是由当前价值的元素更新的，更新其vis数组和lst数组
                        else break;//否则，可以直接退出循环
                    }
                }
            }
            else --ans;//如果可以组合而成，将ans减1
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}

\(T3\)：赛道修建（点此看题面）

这题有很多做法，我个人认为还是二分+\(multiset\)比较好写。

首先，先二分答案\(ans\)。（关于二分的上界，可以设置为树的直径）

关于如何验证，我们可以考虑用一个变量\(tot\)存储满足条件的路径数，并对树上每一个节点开一个\(multiset\)。

对于当前节点\(x\)，设其有\(Size\)个子节点，由于每条边只能选择一次，则最多只有\(Size\)条从子节点到其的路径会被选择。

而这些路径可能有长度大于等于\(ans\)的，对于这样的边，直接将\(tot\)加\(1\)即可，否则，可以将其扔入\(multiset\)。

比较显然，我们可以开一个变量\(res\)来存储没有被选择的边中最长边的长度。然后从小到大枚举剩下的路径，每次找到与其和大于等于\(ans\)的最短边，并将它们同时删除，然后将\(tot\)加\(1\)。如果找不到，就更新\(res\)。

最后返回\(res\)，就是最后选择的通向父节点的路径。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define Gmax(x,y) (x<(y)&&(x=(y)))
#define Gmin(x,y) (x>(y)&&(x=(y)))
#define N 50000
#define add(x,y,v) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y,e[ee].val=v)
using namespace std;
int n,m,ee,lnk[N+5];
struct edge
{
    int to,nxt,val,used;
}e[(N<<1)+5];
class Class_FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        #define pc(ch) (void)(FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,Fsize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int Top,FoutSize;char ch,*A,*B,Fin[Fsize],Fout[Fsize],Stack[Fsize];
    public:
        Class_FIO() {A=B=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0;while(!isdigit(ch=tc()));while(x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));}
        inline void write(int x) {if(!x) return pc('0');while(x) Stack[++Top]=x%10+48,x/=10;while(Top) pc(Stack[Top--]);}
        inline void clear() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),FoutSize=0;}
}F;
class Class_TreeDiameterSolver//求树的直径，实际上可以直接用BFS，但我用了树形DP
{
    private:
        int ans,Max[N+5],Max_[N+5],MaxSon[N+5];
        inline void dfs1(int x,int lst)
        {
            register int i;
            for(Max[x]=Max_[x]=MaxSon[x]=0,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)
            {
                if(!(e[i].to^lst)) continue;
                dfs1(e[i].to,x);
                if(Max[e[i].to]+e[i].val>Max[x]) Max_[x]=Max[x],Max[x]=Max[MaxSon[x]=e[i].to]+e[i].val;
                else if(Max[e[i].to]+e[i].val>Max_[x]) Max_[x]=Max[e[i].to]+e[i].val;
            }
            Gmax(ans,Max[x]+Max_[x]);
        }
        inline void dfs2(int x,int lst,int val)
        {
            register int i;
            for(i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)
            {
                if(!(e[i].to^lst)) continue;
                dfs2(e[i].to,x,max(val,e[i].to^MaxSon[x]?Max[x]:Max_[x])+e[i].val);
            }
            Gmax(ans,Max[x]+val);
        }
    public:
        inline int GetAns() {return dfs1(1,0),dfs2(1,0,0),ans;}
}TD;
class Class_Checker//验证答案
{
    private:
        int tot;multiset<int> s[N+5];multiset<int>::iterator p;
        inline int dfs(int x,int lst,int val)//遍历树，x表示当前访问到的节点，lst表示父节点，val表示当前验证的答案
        {
            register int i,t,res=0;//res存储没有被选择边中最长边的长度
            for(s[x].clear(),i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&((t=dfs(e[i].to,x,val)+e[i].val)>=val?++tot:(s[x].insert(t),0));//枚举子节点，如果当前边长度大于等于val，则将tot加1，否则将其扔入multiset
            while(!s[x].empty())//如果multiset不为空
            {
                if(t=*s[x].begin(),!(s[x].size()^1)) return max(res,t);//如果只剩一条边，返回res与当前边长度的较大值
                (p=s[x].lower_bound(val-t))==s[x].begin()&&!(s[x].count(t)^1)&&(++p,0),(p==s[x].end()?Gmax(res,t):(s[x].erase(p),++tot)),s[x].erase(s[x].begin());//找到与其和大于等于ans的最短边，并将它们同时删除，然后将tot加1。如果找不到，就更新res
            }
            return res;//返回res
        }
    public:
        inline bool Check(int val) {return tot=0,dfs(1,0,val),tot>=m;}//判断tot是否大于等于m
}C;
int main()
{
    register int i,x,y,v,l,r,mid;
    for(F.read(n),F.read(m),i=1;i<n;++i) F.read(x),F.read(y),F.read(v),add(x,y,v),add(y,x,v);
    for(mid=(l=0)+(r=TD.GetAns())+1>>1;l<r;mid=l+r+1>>1) C.Check(mid)?l=mid:r=mid-1;//二分答案
    return F.write(l),F.clear(),0;
}