题意:求二维偏序的最少链划分。

用到Dilworth定理:最少链划分=最长反链。(对偶也成立,个人认为区别只是一个维度上的两个方向,写了个简单的证明

相关概念:偏序集,链,反链等等概念可以参考这里:http://www.cnblogs.com/fstang/archive/2013/03/31/2991220.html

Dilworth定理的证明(英文的):http://aleph.math.louisville.edu/teaching/2009FA-681/notes-091119.pdf

证明

简要来说,设链的最小划分数为p,最长反链长度为l,证明分两步:

(1).p≥l。因为反链上任意两点都不可能在同一个链中,抽屉原理可知p≥l。

(2).p≤l。反复选择反链的极小元点集Xi从全集S中删除直到S为空,

每次阶段的选择的Xi则构成一个链划分(这个可以反证,如果Xi存在a和b无法比较,那么反链中是可比的,则a和b不可能同时是反链的极小元)

最后一次删除将会对应最长的反链。所以链划分了l次,而p是最小链划分,所以有l≥p。

至于实现上,我采用的是O(nlogn)的逆向求LIS的方法来得到最长反链的。

(似乎根据证明第二步可以得出贪心做法,不过因为要排序时间复杂度还是O(nlogn)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<algorithm>
//#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 5e3+; struct Stick
{
int l, w;
bool operator <(const Stick &th) const{
return l < th.l || (l == th.l && w < th.w);
}
void IN(){ scanf("%d%d",&l,&w); }
}stick[N]; int g[N]; //#define LOCAL
int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
int T; cin>>T;
while(T--){
int n; scanf("%d",&n);
for(int i = ; i < n; i++){
stick[i].IN();
}
sort(stick,stick+n);
memset(g,0x3f,sizeof(int)*n);
int ans = ;
for(int i = n-; i >= ; i--){
int k = lower_bound(g+,g+n-i,stick[i].w)-g;
ans = max(ans,k);
g[k] = stick[i].w;
}
printf("%d\n",ans);
}
return ;
}

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