sg函数和nim游戏的关系

sg函数和nim游戏的关系

　　本人萌新，文章如有错漏请多多指教～～

　　我在前面发了关于nim游戏的内容，也就是说给n堆个数不同的石子，每次在某个堆中取任意个数石子，不能取了就输了。问你先手是否必胜。然后只要这n堆石子的石子数异或和等于0就必败，不等于0就必胜。这个是通过利他，利己两个态的定义和转换归纳证明的。可是nim游戏只是博弈论中的一个模型，还有其他模型怎么快速判断胜负呢？例如说这道题，它不是一个nim游戏。我们现在要把它转换成一个nim游戏。

　　首先定义ICG，只有满足这种定义的博弈论模型才能转换成nim游戏。满足以下条件的游戏是ICG（可能不大严谨）：

1. 有两名选手
2. 两名选手交替对游戏进行移动，每次一步，选手可以在有限的合法移动集合中任选一种进行移动
3. 对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作，以前的任何操作，骰子的点数或者其它什么因素。
4. 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是无法移动），则这名选手负。

　　看上去是不是感觉好像没什么卵用（棋子只有一种颜色）。定义mex运算，这是一个施加于一个集合的运算，表示最小的，不属于这个集合的非负整数。例如mex{0, 1, 2, 4}=3，mex{2, 3, 5}=0，mex{}=0。对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的SG=Sprague-Garundy函数为：\(g(x)=mex\{g(y)\mid y是x的后继\}\)。

　　如果一个游戏是ICG。那么一种局面就相当于一个nim游戏，每个棋子对应1堆石子。我们来一步步推导：

1. 我们用sg值表示一个点的sg函数值，也用sg值表示某个棋子所在点的sg值。
2. 首先来个引理，结点编号\(s\ge sg(x)\)。
3. 如果当前局面，所有棋子sg值都是零，先手必输（回想一下nim博弈，如果石子都被取完了你就输了）。分类讨论：如果当前局面上的所有棋子都不能走了，显然它们的sg值都是零，那么先手必输。如果还有棋子能走，我们可以选一个棋子走一步，那么这个棋子的sg值就会变成非零。非零说明什么——说明当前棋子所在结点的孩子结点一定有一个sg函数值为零，那对手只要将棋走到那个结点就行了，局面还是所有棋子sg值都为0！
4. 我们来讨论除了2的普通局面。普通局面，就相当于有棋子的sg值不为零。分类讨论：如果现在对手走，sg值异或和为零，他会选一个棋子，然后把这个棋子放到它的孩子结点上。sg值有可能增加，也有可能减少。只要sg值增加，你就把它还原回来（根据sg函数的定义！）。这个棋子的sg值总有不能增加的一天（因为第一条的那个引理）。所以说：增加某个棋子的sg值是毫无意义的，肯定能被还原。因此，我们干脆不考虑sg值增加的情况。所以，对手只能把某一个棋子的sg值减少。同时根据sg函数的定义，sg值可以变成比当前值小的任何值。

也就是说，如果我们有了一个ICG，那么我们把每个点的sg值求出来，变成一堆石子。那么判断ICG是否先手赢就是判断在这一堆石子上搞nim赢不赢。异或和即可。