洛谷 P2375 [NOI2014]动物园 解题报告

P2375 [NOI2014]动物园

题目描述

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串\(S\)，它的长度为\(L\)。我们可以在\(O(L)\)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串\(S\)的前\(i\)个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作\(next[i]\)。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例\(S\)为abcababc，则\(next[5]=2\)。因为\(S\)的前\(5\)个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出\(next[1] = next[2] = next[3] = 0\)，\(next[4] = next[6] = 1\)，\(next[7] = 2\)，\(next[8] = 3\)。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在\(O(L)\)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串\(S\)的前\(i\)个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作\(num[i]\)。例如\(S\)为aaaaa，则\(num[4] = 2\)。这是因为\(S\)的前\(4\)个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，\(num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2\)。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出\(num\)数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出\(num[i]\)分别是多少，你只需要输出所有(\(num[i]+1\))的乘积，对\(1,000,000,007\)取模的结果即可。

输入输出格式

输入格式：

第\(1\)行仅包含一个正整数\(n\) ，表示测试数据的组数。

随后\(n\)行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串\(S\)，\(S\)的定义详见题目描述。数据保证\(S\) 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

输出格式：

包含 \(n\) 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 \(1,000,000,007\) 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

说明

测试点编号	约定
1	\(N ≤ 5, L ≤ 50\)
2	\(N ≤ 5, L ≤ 200\)
3	\(N ≤ 5, L ≤ 200\)
4	\(N ≤ 5, L ≤ 10,000\)
5	\(N ≤ 5, L ≤ 10,000\)
6	\(N ≤ 5, L ≤ 100,000\)
7	\(N ≤ 5, L ≤ 200,000\)
8	\(N ≤ 5, L ≤ 500,000\)
9	\(N ≤ 5, L ≤ 1,000,000\)
10	\(N ≤ 5, L ≤ 1,000,000\)

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首先，如果学过KMP，很容易得到这样一个暴力算法

50pts

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
char c[N];
int nxt[N],cnt[N],n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%s",c+1);
        int len=strlen(c+1);
        ll ans=1;
        for(int j=0,i=2,k;i<=len;i++)
        {
            while(j&&c[j+1]!=c[i])
                j=nxt[j];
            if(c[j+1]==c[i])
                nxt[i]=++j,cnt[i]=cnt[j]+1;
            else
                cnt[i]=nxt[i]=0;
            k=i;
            while(nxt[k]<<1>i) k=nxt[k];
            (ans*=1ll+cnt[k])%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

我们可以对KMP的nxt数组建图，发现它是一颗树，可以拿倍增跳

80pts

// luogu-judger-enable-o2
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
int Next[N<<1],to[N<<1],head[N],cnt;
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v,Next[cnt]=head[u],head[u]=cnt;
}
char c[N];
int nxt[N],Cnt[N],n,s[N],f[N][21],tot;
void dfs(int sta)
{
    s[++tot]=sta;
    while(tot)
    {
        int now=s[tot--];
        for(int i=head[now];i;i=Next[i])
            s[++tot]=to[i],f[to[i]][0]=now;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%s",c+1);
        memset(head,0,sizeof(head));cnt=0;
        int len=strlen(c+1);
        ll ans=1;add(0,1);
        for(int j=0,i=2;i<=len;i++)
        {
            while(j&&c[j+1]!=c[i])
                j=nxt[j];
            if(c[j+1]==c[i])
                nxt[i]=++j,Cnt[i]=Cnt[j]+1;
            else
                Cnt[i]=nxt[i]=0;
            add(nxt[i],i);
        }
        dfs(0);
        for(register int j=1;j<=18;j++)
            for(register int i=1;i<=len;i++)
                f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
        for(register int i=1;i<=len;i++)
        {
            int k=i;
            for(register int j=18;~j;j--)
                if(f[k][j]<<1>i) k=f[k][j];
            (ans*=1ll+Cnt[k])%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

这地方其实不需要建图，是我屑了

然后把倍增两维反过来开就A了，好像是因为内存的某些原因所以快一些

正解是先把所有Cnt跑出来

然后再KMP匹配时直接不匹配超过一半就行了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
char c[N];
int nxt[N],Cnt[N],n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%s",c+1);
        int len=strlen(c+1);
        ll ans=1;Cnt[1]=1;
        for(int j=0,i=2;i<=len;i++)
        {
            while(j&&c[j+1]!=c[i])
                j=nxt[j];
            if(c[j+1]==c[i])
                nxt[i]=++j,Cnt[i]=Cnt[j]+1;
            else
                Cnt[i]=1,nxt[i]=0;
        }
        for(int j=0,i=2;i<=len;i++)
        {
            while(j&&c[j+1]!=c[i]) j=nxt[j];
            if(c[j+1]==c[i]) ++j;
            while(j<<1>i) j=nxt[j];
            (ans*=1ll+Cnt[j])%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

---

2018.9.6