KMP算法的正确性证明及一个小优化

直接把作业帖上来是不是有点不太公道呀。。。

无所谓啦反正各位看着开心就行

KMP算法

对于模式串$P$，建立其前缀函数$ N$ ，其中$N [q] $ 表示在$P$中，以$q$位置为结束的可以匹配到前缀的最长后缀的长度（也可以理解为那个前缀的结束位置），在匹配中，若$P[i]$与$S[j]$失配，则令$i=N [i-1] +1$ ，否则$i=i+1,j=j+1$

现考虑如何构造$N$ ，设当前以计算出$N[1..i-1]$ ，则令$k=N[i-1]$ ,若 $P[k+1]=P[i]$，则令$N[i]=k+1$ ，否则令$k=N[k]$ 。重复上述过程，直至找到$N[i]$

可证该算法能在$\Theta(|P|) $ 的时间内构造出前缀函数$N$ ,在$\Theta (|S|)$ 的时间内完成匹配，总的时间复杂度为$\Theta(|S|+|P|)$

KMP算法的正确性证明

先证明匹配过程的正确性：

在过程中，若$P[1..q]$ 与$S[s+1...s+q]$ 匹配，而$P[q+1]$与$S[s+q+1]$ 失配，那么由$N$的定义可立即得出$P[1..N[q]]$ 与 $S[s+q-N[q]+1...s+q]$ 匹配，而$S[1...t]$与$S[s+q-t+1...s+q]$ 失配$(N[q]<t<q)$ ，即只需检验$P[N[q]+1]$ 与$S[s+q+1]$ 的匹配情况即可，匹配过程的正确性即可得证。

接下来证明前缀函数$N$计算的正确性：

令$N^*[q]= \{N[q],N^{(2)}[q],…,N^{(t)}[q]\}$ 其中$N^{(t)}[q]=N^{(t-1)}[q]，N^{(0)}[q]=N[q]$ ,那么$N^*[q]$ 为以q位置为结束的可以匹配到前缀的后缀的所有长度（即匹配到所有前缀的位置），同时有$N[q]-1\in N^*[q-1]$ ,因此只需从大到小枚举$N^*[q-1]$ 中的元素并通过判断即可得出$N[q]$ 。
KMP算法的时间复杂度证明

在匹配时：$i，j$增长了$|S|$ ，而在$i=N[i-1]+1$ 中，$i$ 至少减少1，即该语句至多执行了$|S|$次，因此时间复杂度为$\Theta(|S|)$。

构造前缀函数$N$ 时： 我们考虑k的变化，我们可以得到，在每次$k=N[k]$ 中，$k$ 至少减少1，又因为$k$随$i$增加了$|P|$次，即该语句至多执行$|P|$ 次，因此时间复杂度为$\Theta(|P|)$ 。

因此总的时间复杂度为$\Theta(|S|+|P|)$ 。
KMP算法的优化

我们希望通过优化，为了减少失配的概率，因此提出如下改进：

在构造$N'$数组时，当$P[k+1]=P[i]$ 时，若$P[i+1]=P[k+2]$ 则$N'[i]=k+1$ 否则$N'[i]=N'[k+1]$ 。
该优化的正确性证明

在匹配时，我们发现，若$P[q+1]$ 与$S[s+q+1]$失配，同时$P[q+1]=P[N^{(t)}[q]+1]$ ，则$P[N^{(t)}[q]+1]$一定与$S[s+q+1]$ 失配，因此若$P[N[q]+1]=P[q+1]$ ,则该比较一定失配，无需考虑。

在该优化中，由该函数的递归求法可得，$N'[q]=max\{N^*[q]且P[q+1]\neq P[N^{(t)}[q]+1]\}$ ，因此$N'[q]$ 依旧能枚举完所有可能匹配的前缀，同时减少失配概率。
该优化对算法空间与时间复杂度的影响

由于该优化只是改变了N数组的构造方法，因此对空间复杂度无影响。

时间复杂度的证明同KMP的证明，可得对最坏情况下的时间复杂度无影响

由于该算法避免了出现$P[N[q]+1]=P[q+1]$的情况，因此对于有较多重复子串的模式串有较好的优化效果（如aaaab,abcabcabcd）