【learning】多项式开根详解+模板

概述

多项式开跟是一个非常重要的知识点，许多多项式题目都要用到这一算法。

用快速数论变换，多项式求逆元和倍增法可以在$O(n log n)$的时间复杂度下求出一个$n$次多项式的开根。

前置技能

快速数论变换（NTT），多项式求逆元，二次剩余。

多项式的开根

给定一个多项式$A(x)$，其次数为$deg_A$，若存在一个多项式$B(x)$，使其满足$deg_B≤deg_A$，且$ B^2(x) \equiv A(x) (mod\ x^n)$，则$B(x)$即为$A(x)$在模$x^n$意义下的的开根。

求多项式的开根

我们不妨假设，$n=2^k,k∈N$。

若$n=1$，则$b_0^2 \equiv a_0(mod\ x)$。其中$a_0$，$b_0$表示多项式$A$和多项式$B$的常数项。

若需要求出$b_0$，直接用二次剩余求出即可。（不过由于大部分题目公式特别优美，常数项通常为0）

当$n>1$时：

我们假设在模$x^{\frac{n}{2}}$的意义下$A(x)$的开根$B'(x)$我们已经求得。

依据定义，则有

$B^2(x)\equiv A(x) (mod\ x^{n})$          $(1)$

因为多项式$B'(x)$满足

$B'^2(x)\equiv A(x) (mod\ x^{\frac{n}{2}})$          $(2)$

将$(1)-(2)$，得

$B^2(x)-B'^2(x)\equiv 0(mod\ x^{\frac{n}{2}})$          $(3)$

我们用平方差公式将$(3)$展开

$(B(x)+B'(x))(B(x)-B'(x))\equiv 0(mod\ x^{\frac{n}{2}})$          $(4)$

然后我们会发现多项式$B(x)$有两个解，下面考虑其中一种情况

$B(x)-B'(x)\equiv 0(mod\ x^{\frac{n}{2}})$          $(5)$

我们将$(5)$式同余符号两边平方，得

$B^2(x)-2B(x)B'(x)+B'^2(x)\equiv 0(mod\ x^n)$          $(6)$

考虑到式$(1)$，我们将式$(1)$代入式$(6)$，得

$A(x)-2B(x)B'(x)+B'^2(x)\equiv 0(mod\ x^n)$          $(7)$

最后对式 $(7)$进行移项，得到

$B(x)\equiv \dfrac{A(x)+B'^2(x)}{2B'(x)} (mod\ x^n)$          $(8)$

显然，我们可以用上述式子，通过倍增，求出n次项的$B(x)$。

这一步的计算我们可以使用多项式求逆元和$NTT$，时间复杂度为$O(n log n)$。

我们可以通过递归的方法，求解出最终的$N$次项的$B(x)$

时间复杂度$T(n)=T(\dfrac{n}{2})+O(n log n)=O(n log n)$。

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