Miller_raibin算法随机化检测素数 & Pollar_rho 算法分解大数

这几天一直再学习这些内容，也没有发一些博客，现在我觉得差不多了

首先基础是Miller_raibin随机化检测素数，顾名思义，随机化也就是有几率不对，但是很低，适用于大数快速检测，因为大数已经超出了我们打表的范围了

对于这个算法基础是费马小定理 和二次探测定理

1. Fermat定理：若n是奇素数，a是任意正整数(1≤ a≤ n−1)，则 a^(n-1) ≡ 1 mod n。

2. 推演自Fermat定理（具体过程我没看懂，Orz）, 如果n是一个奇素数，将n−1表示成2^s*r的形式，r是奇数，a与n是互素的任何随机整数，那么a^r ≡ 1 mod n或者对某个j (0 ≤ j≤ s−1, j∈Z) 等式a^(2jr) ≡ −1 mod n 成立。

他们的命题前提条件都是如果n是素数……，但是反过来却不一定对，但有可能对，我们只要把这个可能无限的放大，就好了

https://blog.csdn.net/semiwaker/article/details/60142102

首先快速乘法，快速幂

typedef long long ll;
ll retmin;
ll q_mul(ll a,ll b,ll c)
{
    ll res = 0;
    a %= c;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = (res + a) % c;
        b >>= 1;
        a = (a + a) % c;
    }
    return res;
}
ll q_pow(ll a,ll b,ll c)
{
    ll res = 1;
    a %= c;
    while(b)
    {
        if(b & 1)res = q_mul(res,a,c);
        b >>= 1;
        a = q_mul(a,a,c);
    }
    return res;
}

然后就是随机化验证，对于随机数我用的是网上的经验取值，2，7，61这样基本上达到100%

bool miller_rabin(ll n)
{
    if(n == 2 || n == 7 || n ==61)return true;

    if(n < 2 || !(n & 1))return false;

    if(witness(2,n) && witness(7,n) && witness(61,n))
        return true;
    return false;
}

如何验证呢？

对于费马小定理，我们直接去看a的n-1次方有点太暴力，最优的就是把以上两个定理的逆定理合起来一起验证！

我们考虑把费马小定理中的n - 1分解为 2^t*u

ll u = n - 1;
    int t = 0;

    while(!(u & 1))
    {
        u >>= 1;
        t++;
    }

把2分解出来才能取构造平方~~去验证二次探测定理

更详细的解释还得看这个大佬的博客

if(u == 1 || u == n - 1)return true;

    while(t--)
    {
        u = q_mul(u,u,n);
        if(u == n - 1)
            return true;
    }
    return false;

如果一旦出现n-1的值那么代表提供了二次探测，一开始值若为1代表提供了费马小，所以对于这次测试，它能够通过

接下来我们进行大数分解算法，其实主要目的就是去找它的因子

void Find(ll n)
{
    if(n == 1)return;

    if(miller_rabin(n))
    {
        retmin = min(retmin,n);
        return;
    }

    ll p = n;

    while( p >= n)
        p = pollard_rho(n,rand() % (n - 1) + 1);
    Find(p);
    Find(n / p);
}

如代码，我们尝试去找n的因子，前面特判一些，如果n不是素数，那就有因子，我们用pollard算法去寻找

一开始我们找因子就是一个一个去试，效率非常低，但是我们如果能够利用组合，我提供一堆数，两两组合求差，用差去尝试，那样效率会大大提升，你可能觉得没什么区别，但是你可以去查一下生日悖论

他很好的说明了这个算法的高效性

再优化一点呢，就是随机数我们有自己的生成机制和步长限制（循环），所以，

ll pollard_rho(ll n,ll c)
{
    ll x,y,d,i = 1,k = 2;

    x = rand() % ( n - 1) + 1;
    y = x;
    while(1)
    {
        x = (q_mul(x,x,n) + c) % n;
        d = gcd((x - y + n) % n,n);

        if(d > 1 && d < n)return d;

        if(x == y)return n;

        if(++i == k)
        {
            k <<= 1;
            y = x;
        }
    }
}

如果x == y代表我们随机选择的参数c不好，达到了循环，所以重新进行寻找