loj10010糖果传递

题目描述

原题来自：HAOI 2008

有 n 个小朋友坐成一圈，每人有 a_i 颗糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一颗糖果的代价为 1 。求使所有人获得均等糖果的最小代价。

输入格式

第一行有一个整数 n ，表示小朋友个数；

在接下来 n 行中，每行一个整数 a_i。

输出格式

输出使所有人获得均等糖果的最小代价。

样例

样例输入

4
1
2
5
4

样例输出

4

数据范围与提示

对于 30% 的数据，n<=1000；

对于 100% 的数据，n<=1e6，保证答案可以用 64 位有符号整数存储。

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很经典的题目，最初是在蓝书上看到的。

n个孩子围坐在一起，每个孩子手中有糖，通过传递让糖果平均。

每个孩子有a_i个糖果，传给下一个孩子b_i个糖果，使他们平均。当然可能是下一个孩子传给他，那么b_i为负数。

这样就是求sum(abs(b_i))

平均值ave是可以求出来的，那么

a_1+b_n-b_1=ave

a_2+b_1-b_2=ave

a_3+b_2-b_3=ave

...

a_n+b_n-1+b_n=ave

变形的

b_1=a_1+b_n-ave

b_2=a_2+b_1-ave

b_3=a_3+b_2-ave

......

b_n=a_n+b_n-1-ave

其中a_i和ave已知，设a_i-ave为c_i，上面的式子变为：

b_2=b_1-c_2

b_3=b_2-c_3=b_1-c_2-c_3

...

b_n=b_1-c_2-c_3-c_4-...-c_n

b_1=b_1-c_2-c_3-c_4-...-c_n-c_1

我们要求的是等号左侧的所有b的绝对值的最小值，也就是求等号右侧所有式子的绝对值和的最小值，而右侧只有b1是未知量。那么式子就变成了

|x-d|

x是未知量，而d是已知量。

那么就成了数轴上x点到d点的距离。

而d有好多个，求得是x。所以就变成了，求数轴上某一点数轴上n个已知点的距离之和最小。

这就用到了中位数。也就是把所有已知点排序，中间点的位置就是x点。

（奇数个已知点就是中间的，偶数个已知点，中间两个点间的所有的都符合要求）

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 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=1e6+10;
 4 long long sz[maxn],ssz[maxn];
 5 long long n,ave;
 6 inline long long jdz(long long x,long long y)
 7 {
 8     return x>y?x-y:y-x;
 9 }
10 int main()
11 {
12     scanf("%lld",&n);
13     for(int i=1;i<=n;++i)
14     {
15         scanf("%lld",&sz[i]);
16         ave+=sz[i];
17     }
18     ave/=n;
19     for(int i=1;i<=n;++i)
20     {
21         sz[i]-=ave;
22         ssz[i]=sz[i]+ssz[i-1];
23     }
24     sort(ssz+1,ssz+n+1);
25     long long b=ssz[(1+n)>>1];
26     long long ans=0;
27     for(int i=1;i<=n;++i)
28         ans+=jdz(b,ssz[i]);
29     cout<<ans;
30     return 0;
31 }