[Nescafé41]异化多肽(多项式求逆元)

2015年的题，应该是将形式幂级数引入国内的元老级题目。

大意：给定一个大小为m的正整数序列和n，问有多少种选法可以凑成n，每个数可以选多次，种类不同算不同方案。$n,m,C \leqslant 100000$

首先处理出生成函数$C$，设答案的形式幂级数为$F$，有递推式$F_n=\sum F_{n-k}*C_k$。
因为这个问题，导致完全不可以用分治解决了。所以我们重新从$C$的角度考虑：
角度一：$$F=1+C+C^2+C^3+...=\frac{1-C^\infty}{1-C}$$角度二：$$F=FC+1$$最后都有：$$F=\frac{1}{1-C}$$
这样就是一个裸的多项式求逆问题了。
模数$1005060097$的原根是$5$。多项式有无逆元取决于其常数项有无逆元，显然这题正好保证了$1-C$的常数项为$1$
再次提醒：次数界开两倍，复杂度：$$T(n)=O(n\log n)+T(n/2)=O(n\log n)$$不过基于常数问题还是不要把它看成一个$log$比较好。

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 using namespace std;

 const int N=,mod=,g=;
 int n,m,x,rev[N],tmp[N],a[N],b[N],c[N],ic[N],lg[N];

 int ksm(int a,int b){
     int res;
     for (res=; b; a=1ll*a*a%mod,b>>=)
         if (b & ) res=1ll*res*a%mod;
     return res;
 }

 void DFT(int a[],int n,int f){
     for (int i=; i<n; i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
     for (int i=; i<n; i<<=){
         int wn=ksm(g,(f==) ? (mod-)/(i<<) : (mod-)-(mod-)/(i<<));
         for (int p=i<<,j=; j<n; j+=p){
             int w=;
             for (int k=; k<i; k++,w=1ll*w*wn%mod){
                 int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%mod; a[j+k]=(x+y)%mod; a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
             }
         }
     }
     if (f==) return;
     int inv=ksm(n,mod-);
     for (int i=; i<n; i++) a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
 }

 void get(int a[],int b[],int l){
     if (l==){ b[]=ksm(a[],mod-); return; }
     get(a,b,l>>); int n=l<<;
     for (int i=; i<l; i++) tmp[i]=a[i],tmp[i+l]=;
     for (int i=; i<n; i++) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(lg[n]-));
     DFT(tmp,n,); DFT(b,n,);
     for (int i=; i<n; i++) tmp[i]=1ll*b[i]*(-1ll*tmp[i]*b[i]%mod+mod)%mod;
     DFT(tmp,n,-);
     for (int i=; i<l; i++) b[i]=tmp[i],b[i+l]=;
 }

 int main(){
     freopen("polypeptide.in","r",stdin);
     freopen("polypeptide.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m); c[]=;
     rep(i,,n<<) lg[i]=lg[i>>]+;
     rep(i,,m) scanf("%d",&x),c[x]++;
     rep(i,,n) c[i]=mod-c[i];
     for (m=; m<=n; m<<=); get(c,ic,m);
     printf("%d\n",ic[n]);
     return ;
 }