dp题单——区间dp

一、基本概念

1、链式区间dp

for(int len = 2; len <= n; len++){ //枚举区间长度
	for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++){//枚举左边界
		int j = i + len - 1; //有边界
		for(int k = i; k < j; k ++){ // 中间变量位置
			dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + cost[i][j]);
		}
	}
}

2、环形区间dp：把范围扩大一倍，从f[1][n],f[2][n + 1]中寻找最优解

3、关于区间dp的更新状况

每次对固定区间长度进行更新，更新顺序遵循由小区间到大区间。

二、区间dp适用情况

三、相关题目

1、Zuma

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510;
int dp[N][N], a[N], n;
//dp[i][j]表示合并区间[i][j]所需要的最少步数

signed main(){
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		dp[i][i] = 1;
		if(a[i] == a[i + 1]) dp[i][i + 1] = 1;
		else dp[i][i + 1] = 2;
	}
	for(int len = 2; len <= n; len++){
		for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++){
			int j = i + len - 1;
			//必须要有j - i > 1，因为j - i == 1这种情况在初始化已经被更新了，且是最优值
			//为什么当相等的时候，直接由dp[i+1][j-1]转移过来呢？
			//因为区间[i+1,j-1]合并到最后会剩下一个回文串，回文串两端加上相同的字母还是回文串，合并次数不变
			if(a[i] == a[j] && j - i > 1) {
				dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
			}
			for(int k = i; k < j; k++){
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]);
			}
		}
	}
	cout << dp[1][n] << endl;
	return 0;
}

2、Minimum Triangulation

简单区间dp

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 510;
int dp[N][N], a[N], n;

signed main(){
	cin >> n;
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	for(int i = 1; i <= n; i++){//区间内只有一个数或者区间内只有两个数，不能组成三角形
		dp[i][i] = 0;
		dp[i][i + 1] = 0;
	}
	for(int len = 2; len <= n; len++){
		for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++){
			int j = i + len - 1;
			for(int k = i; k < j; k++){//其他题目区间是不包含关系，所以是k+1
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + i * k * j);
			}
		}
	}
	cout << dp[1][n] << endl;
	return 0;
}

3、Array Shrinking

思路非常棒的一道题，代码量比较小，不好想

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int N = 510;
int dp[N][N], a[N], n;//dp表示区间长度（即区间内所剩余的数的个数）
int v[N][N];//记录区间[i][j]合并后所剩的一个数的值（如果可以）

signed main(){
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		v[i][i] = a[i];//注意这个敌方的初始化
	}
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		for(int j = i; j <= n; j++){
			dp[i][j] = j - i + 1;//求区间长度
		}
	}
	for(int len = 2; len <= n; len++){
		for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i++){
			int j = i + len - 1;
			for(int k = i; k < j; k++){
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j]);
				if(dp[i][k] == 1 && dp[k + 1][j] == 1 && v[i][k] == v[k + 1][j]){//合并条件还是蛮好理解的
					dp[i][j] = 1;
					v[i][j] = v[i][k] + 1;
				}
			}
		}
	}
	cout << dp[1][n] << endl;
	return 0;
}

4、Clear the String

这个状态转移方程写的太妙了！爱了爱了。

5、矩阵取数游戏

参考博客：

1、https://www.cnblogs.com/ljy-endl/p/11610549.html

2、https://blog.csdn.net/Gonhz/article/details/105361300

3、https://www.luogu.com.cn/problem/solution/CF1132F

4、https://blog.csdn.net/m0_57344422/article/details/118085490