CF1817E Half-sum

题意

有一个大小为 \(N\) 的非负整数集合 \(A\)，每次你可以从集合中取任意两个数，并将它们的平均数放回序列。不停操作，知道集合最后剩下两个数。请求出这两个数的差的绝对值的最大值对 \(10^9+7\) 取模的结果。

数据范围：\(1\le N\le 10^6, 0\le A_i\le 10^9\)。

做法

首先给 \(A\) 排序，最后一定会把一个前缀合并到一个数里，剩下的后缀合并到另一个数里。合并顺序可以改变不同的数所占比例。贪心地思考，容易得出对于前缀一定是从后往前合并，对于后缀一定是从前往后合并。也就是假设 \(A_{1\dots k}(1<k<n)\) 合并到一起，那么 \(A_i(1\le i < k)\) 的系数是 \(2^{-i}\)，\(A_j(k+1 < j\le n)\) 的系数是 \(2^{-(n-i+1)}\)。中间两个数比较特殊，\(A_k\) 系数是 \(2^{-(k-1)}\)，\(A_{k+1}\) 的系数是 \(2^{-(n-k-1)}\)。

你发现直接枚举 \(k\) 去计算答案，这是不好做的，因为精度不够，你最后输出结果是取模的，必须绝对精确。你当然可以写二进制高精度数，然后你会发现你不能支持 \(\log A\) 加减的同时 \(\log A\) 比较，除非去写线段树之类；总之这不是上策。

那么怎么办呢？考虑边界从 \(p\) 移动到 \(q(q>p)\) 的时候答案的变化量（设 \(D_i = A_{i+1} - A_i\)）：

\[\begin{align*}
\Delta_{p,q} &= \sum\limits_{i = p}^{q-1}\frac{A_i}{2^i}-(\frac{A_{i+1}}{2^i}+\frac{A_{i+1}}{2^{n-i-1}})+\frac{A_{i+2}}{2^{n-i-1}}\\
&= \sum\limits_{i = p}^{q-1}\frac{D_i}{2^i}-\frac{D_{i+1}}{2^{n-i-1}}\\
&= \frac{D_p}{2^p} - \frac{D_q}{2^{n-q}} + \sum\limits_{i = p+1}^{q-1}(\frac1{2^i} - \frac1{2^{n-i}})D_i
\end{align*}
\]

你发现一个事情叫做，下面的 2 的次数相差很大，而你给定的数值域只有 \(10^5\)，那有一些东西是显然不优的。比如说当 \(q \le \dfrac{n-32}2\) 的时候，如果存在一个 \(p < q\) 使得 \(D_p > 0\)，那这个 \(q\) 就直接没用了。后半部分同理。于是你只需要无条件计算出中间三十个，然后寻找左半部分和右半部分第一个 \(D_i > 0\) 的位置计算出来即可。于是你可以 \(\Theta(n)\) 去计算高精度数，全部算好以后暴力进位，并一位一位和当前最优解比较。这样时间复杂度是 \(\Theta(n\log V)\)。啥都不用写，很赚。