题解 CF1401C

题目大意：

给定一序列 \(A\)，定义当且仅当 \(\gcd(a_i,a_j)=a_{min}\) 时，元素 \(a_i\) 和 \(a_j\) 可以交换。

问当前给定的序列 \(A\) 能否转化为非严格单调递增的序列。

题目分析：

因为两个元素当且仅当其最大公因数为 \(a_{min}\) 时才可以交换，故我们可以先对原序列进行排序，然后判断排序后的序列中原序列与之间的不同的元素能不能被 \(a_{min}\) 整除即可，理由如下：

首先，很显然的是，原命题等价于两个命题，分别是：

1. 若排序后的序列中与原序列之间不同的元素不能被 \(a_{min}\) 整除，则原序列必定无法转化为一个非严格单调递增的序列
2. 若排序后的序列中与原序列之间的每一个不同的元素能被 \(a_{min}\) 整除，则原序列必定可以转化为一个非严格单调递增的序列。

现在，我们对命题 \(1\) 进行证明：

因为其为排序后的序列，故其与原序列不同的元素必然是那些发生了交换的元素。

如果那些发生了交换的元素不能被最小值 \(a_{min}\) 整除，则证明该元素中不完全包含 \(a_{min}\) 所含有的因子，故其与其他数的最大公因数必然不是\(a_{min}\)，其显然无法完成交换操作，与前面相矛盾，所以无法完成转化操作。

现在，我们对命题 \(2\) 进行证明：

1. 若每两个不同的元素之间的最大公因数为 \(a_{min}\)，则其能转化为目标序列是显然的，这里不多赘述。

2. 若有两个不同的元素之间的最大公因数不为 \(a_{min}\)，那么这两个数要么可以通过其他与之最大公因数为 \(\boldsymbol{a_{min}}\) 的间接交换而来，要么直接和 \(a_{min}\) 间接交换而来。

综上，我们不难证明这个方法是正确的。时间复杂度取决于排序，这里我用的是快排，故时间复杂度为 \(O(n\lg n)\)

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define TIME_LIMIT (time_t)2e3
#define dbg(x) cerr<<#x<<": "<<x<<endl;
#define MAX_SIZE (int)1.1e5

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
#ifdef LOCAL
    freopen("in.in", "r", stdin);
    freopen("out.out", "w", stdout);
    time_t cs = clock();
#endif
    //========================================
    int T;
    cin >> T;

    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        int a[MAX_SIZE] = {};
        int bak[MAX_SIZE] = {};

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> a[i];
            bak[i] = a[i];
        }

        sort(a + 1, a + 1 + n);
        bool flag = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (a[i] != bak[i] && a[i] % a[1] != 0) {
                cout << "NO" << endl;
                flag = 1;
                break;
            }
        }

        if (!flag)
            cout << "YES" << endl;
    }

    //========================================
#ifdef LOCAL
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    time_t ce = clock();
    cerr << "Used Time: " << ce - cs << " ms." << endl;

    if (TIME_LIMIT < ce - cs)
        cerr << "Warning!! Time exceeded limit!!" << endl;

#endif
    return 0;
}