C++数据结构(树)

树是一种递归定义的数据结构，如果树中节点的各子树从左到右是有次序的，不能互换，则称该树为有序树，否则叫无序树。

关于树的节点：

1. 节点拥有的子树的个数叫做节点的度
2. 如果度为0，那么该节点叫做叶节点或终端节点，除了根节点外的分支节点称为内部节点
3. 树的度是各节点度的最大值。节点的子树的根称为该节点的子节点，某个节点只能有一个父节点。
4. 节点的子树的根称为该节点的子节点
5. 节点的层次从树根开始计算，树的深度或高度是树中节点的最大层数
6. 相同父节点的孩子之间互称兄弟节点

二叉树的特点是每个节点最多有两棵子树，这意味着每个节点的度不会大于2，并且是一棵有序树

关于满二叉树：

1. 所有分支节点都存在左子树和右子树
2. 所有叶节点都在同一层
3. 不存在非0或非2的节点
4. 高度为H，含有(2^H-1)个节点

关于完全二叉树：

1. 叶节点在最底下两层
2. 最后一层叶节点都靠左侧排列，除了最后一层，其他层的节点个数达到最大
3. 倒数第二层如果有叶节点，则叶节点都靠右排列
4. 如果节点度为 1，则该节点只有左子树，不可以只有右子树。而且最多只有一个度为 1 的节点
5. 高度为 H，每个节点都与高度为 H 的满二叉树中编号为 1~n 的节点一一对应

由此可见，满二叉树一定是完全二叉树，反之不一定成立

判断完全二叉树：

1. 按照满二叉树的情形给二叉树的节点逐层编号，编号出现空缺则不是完全二叉树
2. 一棵满二叉树，依次把编号最大的 1 到多个节点去掉，得到的就是一棵完全二叉树
3. 如果一个完全二叉树有 n 个节点，当节点的编号≤(n/2) 时，这些节点就是分支节点，而当节点的编号>(n/2) 时，这些节点就是叶节点(n/2 如果没有整除则去掉小数部分)

二叉树的性质：

1. 在二叉树的第i层上，最多有2^(i-1)个节点
2. 高度为K的二叉树至多有(2^K-1)个节点
3. 二叉树节点的总数量等于节点的总度数+1
4. 对于任何一棵二叉树，如果其叶节点数量为n0，度为 2 的节点数量为n2，则叶节点的数量比有两棵子树的节点数量多一个，即n0=n2+ 1
5. 具有 n（n>0）个节点的完全二叉树的高度为⌈log2(n+1)⌉ 或者 ⌊log2n⌋ +1。

顺序存储

顺序存储方式用一段连续的内存单元依次从上到下、从左到右存储二叉树各个节点元素

假设存储的是一棵完全二叉树，如果将根节点存储在数组下标i=1的位置，则左子树下标为i*2=2的位置，右子树在3的位置

如果存储的是一棵非完全二叉树，也按照完全二叉树的编号来存储，但会浪费较多的内存空间

#include <iostream>
#include <cmath>

#define MaxSize 100

enum ECCHILDSIGN {
    E_Root,      // 树根
    E_ChildLeft, // 左孩子
    E_ChildRight // 右孩子
};

template <typename T>
struct BinaryTreeNode {
    T data;       // 数据域
    bool isValid; // 节点是否有效
};

template <typename T>
class BinaryTree {
public:
    BinaryTree() {
        for (int i=0;i<=MaxSize;i++) {
            // 初始时节点无效
            SeqBiTree[i].isValid = false;
        }
    }
    ~BinaryTree() {};

public:
    // 创建节点
    int CreateNode(int parindex,ECCHILDSIGN pointSign,const T &e);

    // 获取父节点下标
    int getParentIdx(int sonindex) {
        if (ifValidRangeIdx(sonindex) == false) {
            return -1;
        }
        if (SeqBiTree[sonindex].isValid == false) {
            return -1;
        }
        return int(sonindex / 2);
    }

    // 获取指定节点所在高度
    int getPointLevel(int index) {
        if (ifValidRangeIdx(index) == false) {
            return -1;
        }
        if (SeqBiTree[index].isValid == false) {
            return -1;
        }
        int level = int(log(index)/log(2)+1);
        return level;
    }

    // 获取二叉树深度
    int getLevel() {
        if (SeqBiTree[1].isValid == false) {
            return 0;
        }

        int i;
        for (i = MaxSize;i >= 1;i--) {
            // 找到最后一个有效节点
            if (SeqBiTree[i].isValid == true) {
                break;
            }
        }
        return getPointLevel(i);
    }

    // 判断是否为完全二叉树
    bool ifCompleteBT() {
        if (SeqBiTree[1].isValid == false) {
            return false;
        }
        int i;
        for (i = MaxSize;i >= 1;i--) {
            // 找到最后一个节点
            if (SeqBiTree[i].isValid == true) {
                break;
            }
        }
        for (int k = 1;k <= i;k++) {
            // 所有节点有效
            if (SeqBiTree[k].isValid == false) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    void preOrder() {
        if (SeqBiTree[1].isValid == false) {
            return;
        }
        preOrder(1);
    }

    void preOrder(int index) {
        if (ifValidRangeIdx(index) == false) {
            return;
        }
        if (SeqBiTree[index].isValid == false) {
            return;
        }
        std::cout << (char)SeqBiTree[index].data << "";
        preOrder(2 * index);
        preOrder(2 * index + 1);
    }

private:
    bool ifValidRangeIdx(int index) {
        if (index < 1 || index > MaxSize) {
            return false;
        }
        return true;
    }
private:
    BinaryTreeNode<T> SeqBiTree[MaxSize + 1];
};

template <class T>
int BinaryTree<T>::CreateNode(int parindex,ECCHILDSIGN pointSign,const T &e) {
    if (pointSign != E_Root) {
        if (ifValidRangeIdx(parindex) == false) {
            return -1;
        }
        if (SeqBiTree[parindex].isValid == false) {
            return -1;
        }
    }

    int index = -1;
    if (pointSign == E_Root) {
        index = 1; // 根节点下标为1
    } else if (pointSign == E_ChildLeft) {
        // 左孩子
        index = 2 * parindex;
        if (ifValidRangeIdx(index) == false) {
            return -1;
        }
    } else {
        // 右孩子
        index = 2 * parindex + 1;
        if (ifValidRangeIdx(index) == false) {
            return -1;
        }
    }
    SeqBiTree[index].data = e;
    // 标记该下标中有效数据
    SeqBiTree[index].isValid = true;
    return index;
}

int main(void) {
    BinaryTree<int> tree;
    int indexRoot = tree.CreateNode(-1,E_Root,'A');
    int indexNodeB = tree.CreateNode(indexRoot,E_ChildLeft,'B');
    int indexNodeC = tree.CreateNode(indexRoot,E_ChildRight,'C');

    int indexNodeD = tree.CreateNode(indexNodeB,E_ChildLeft,'D');
    int indexNodeE = tree.CreateNode(indexNodeC,E_ChildRight,'E');

    int iParentIndexE = tree.getParentIdx(indexNodeE);
    std::cout << "node E parent node index: " << iParentIndexE << std::endl;

    int iLevel = tree.getPointLevel(indexNodeD);
    std::cout << "the height of node D: " << iLevel << std::endl;

    iLevel = tree.getPointLevel(indexNodeE);
    std::cout << "the height of node E: " << iLevel << std::endl;
    std::cout << "the depth of binary tree: " << tree.getLevel() << std::endl;
    std::cout << "compelete binary tree: " << tree.ifCompleteBT() << std::endl;

    std::cout << "-----------------" << std::endl;
    std::cout << "preorder: ";
    tree.preOrder();

    return 0;
}

链式存储

链式存储要存储额外的左右子节点，多用于存储普通的二叉树

#include <iostream>

enum ECCHILDSIGN {
    E_Root,       // 树根
    E_ChildLeft,  // 左孩子
    E_ChildRight  // 右孩子
};

template <typename T>
struct BinaryTreeNode {
    T data;  // 数据域
    BinaryTreeNode *leftChild;
    BinaryTreeNode *rightChild;
};

template <typename T>
class BinaryTree {
public:
    BinaryTree();
    ~BinaryTree();
public:
    // 创建节点
    BinaryTreeNode<T> *CreateNode(BinaryTreeNode<T> *parentnode,ECCHILDSIGN pointSign,const T &e);
    void ReleaseNode(BinaryTreeNode<T> *pnode);  // 释放树节点
    void CreateBTreeAccordPT(char *pstr);  // 前序遍历顺序创建BTree
public:
    // 前序遍历
    void preOrder() {
        preOrder(root);
    }
    void preOrder(BinaryTreeNode<T> *tNode) {
        if (tNode != nullptr) {
            std::cout << (char)tNode->data << " ";
            preOrder(tNode->leftChild);
            preOrder(tNode->rightChild);
        }
    }

    // 中序遍历
    void inOrder() {
        inOrder(root);
    }
    void inOrder(BinaryTreeNode<T> *tNode) {
        if (tNode != nullptr) {
            inOrder(tNode->leftChild);
            std::cout << (char)tNode->data << " ";
            inOrder(tNode->rightChild);
        }
    }

    // 后序遍历
    void postOrder() {
        postOrder(root);
    }
    void postOrder(BinaryTreeNode<T> *tNode) {
        if (tNode != nullptr) {
            postOrder(tNode->leftChild);
            postOrder(tNode->rightChild);
            std::cout << (char)tNode->data << " ";
        }
    }

private:
    BinaryTreeNode<T> *root;
    void CreateBTreeAccordPTRecu(BinaryTreeNode<T>* &tnode,char* &pstr);
};

template <class T>
BinaryTree<T>::BinaryTree() {
    root = nullptr;
}

template <class T>
BinaryTree<T>::~BinaryTree() {
    ReleaseNode(root);
}

template <class T>
void BinaryTree<T>::ReleaseNode(BinaryTreeNode<T> *pnode) {
    if (pnode != nullptr) {
        ReleaseNode(pnode->leftChild);
        ReleaseNode(pnode->rightChild);
    }
    delete pnode;
}

template <class T>
BinaryTreeNode<T> *BinaryTree<T>::CreateNode(BinaryTreeNode<T> *parentnode,ECCHILDSIGN pointSign,const T &e) {
    BinaryTreeNode<T> *tmpnode = new BinaryTreeNode<T>;
    tmpnode->data = e;
    tmpnode->leftChild = nullptr;
    tmpnode->rightChild = nullptr;

    if (pointSign == E_Root) {
        root = tmpnode;
    }
    if (pointSign == E_ChildLeft) {
        parentnode->leftChild = tmpnode;
    } else if (pointSign == E_ChildRight) {
        parentnode->rightChild = tmpnode;
    }
    return tmpnode;
}

template <class T>
void BinaryTree<T>::CreateBTreeAccordPT(char *pstr) {
    CreateBTreeAccordPTRecu(root,pstr);
}

template <class T>
void BinaryTree<T>::CreateBTreeAccordPTRecu(BinaryTreeNode<T> *&tnode,char *&pstr) {
    if (*pstr == '#') {
        tnode = nullptr;
    } else {
        tnode = new BinaryTreeNode<T>;
        tnode->data = *pstr;
        CreateBTreeAccordPTRecu(tnode->leftChild,++pstr);
        CreateBTreeAccordPTRecu(tnode->rightChild,++pstr);
    }
}

int main(void) {
    BinaryTree<int> tree;
    BinaryTreeNode<int> *rootpoint = tree.CreateNode(nullptr,E_Root,'A');
    BinaryTreeNode<int> *subpoint = tree.CreateNode(rootpoint,E_ChildLeft,'B');
    subpoint = tree.CreateNode(subpoint,E_ChildLeft,'D');
    subpoint = tree.CreateNode(rootpoint,E_ChildRight,'C');
    subpoint = tree.CreateNode(subpoint,E_ChildRight,'E');

    // tree.CreateBTreeAccordPT((char*)"ABD###C#E##"); // 直接通过前序遍历创建二叉树

    std::cout << "preorder: ";
    tree.preOrder();
    std::cout << std::endl;

    std::cout << "inorder: ";
    tree.inOrder();
    std::cout << std::endl;

    std::cout << "postorder: ";
    tree.postOrder();
    std::cout << std::endl;

    return 0;
}