后缀数组(SA)总结

这个东西鸽了好久了，今天补一下

概念

后缀数组$SA$是什么东西？

它是记录一个字符串每个后缀的字典序的数组

$sa[i]$:表示排名为$i$的后缀是哪一个。

$rnk[i]$:可以理解为$SA$数组的逆，记录后缀$i$的排名是多少，$rnk[SA[i]]=i$。

$lcp[i]$:别人一般叫$height$，表示后缀$SA[i]$与$SA[i-1]$的最长公共前缀的长度。

后缀排序

求出后缀数组的算法，模板题

代码

先上代码，便于理解

#define cmp(i, j, k) (y[i] == y[j] && y[i + k] == y[j + k])

void Get_SA() {

    static int x[MAX_N], y[MAX_N], bln[MAX_N];

	int M = 122;

	for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[i] = a[i]]++;

	for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1];

	for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[i]]--] = i;

	for (int k = 1; k <= N; k <<= 1) {

		int p = 0;

		for (int i = 0; i <= M; i++) y[i] = 0;

		for (int i = N - k + 1; i <= N; i++) y[++p] = i;

		for (int i = 1; i <= N; i++) if (sa[i] > k) y[++p] = sa[i] - k;

		for (int i = 0; i <= M; i++) bln[i] = 0;

		for (int i = 1; i <= N; i++) bln[x[y[i]]]++;

		for (int i = 1; i <= M; i++) bln[i] += bln[i - 1];

		for (int i = N; i >= 1; i--) sa[bln[x[y[i]]]--] = y[i];

	    swap(x, y); x[sa[1]] = p = 1;

		for (int i = 2; i <= N; i++) x[sa[i]] = cmp(sa[i], sa[i - 1], k) ? p : ++p;

		if (p >= N) break;

		M = p;

	}

}

算法流程

求$sa$的算法有倍增法和$DC3$，因为后者有码量大、常数大、我不会等种种缺点，

这里只介绍倍增算法。

我们如果对于每个倍增完的二元组，每个都$sort$一下，复杂度是$O(nlog^2)$的。

那么将基数排序应用到其中去，就可以做到$O(nlogn)$，具体做法：

我们考虑一下普通的基数排序是怎么排二元组

先将第二位丢进桶里，然后按照第一维的次序取出。

那么这个字符串怎么排呢？

首先当$k=0$时，我们直接桶排一下就行了。

但是我们还要接着排啊，

还记得吧，基排序是先按照第二维从小往大排

那么，我们就先把第二维的顺序搞出来

首先最小的一定就是没有第二维的东西

所以我们先把这些数直接丢进数组里面

接下来就是有第二维的东西啦

第$i$位的第二维是啥？$rnk[i+k]$

所以，从小到达枚举$sa$，这样保证第二维从小往大

那么，只要$sa[i]>k$

就证明它是一个东西的第二维

所以，把$sa[i]−k$

丢到数组里面去就好啦

这样的话，按照第二维就排好啦

再来依次按照第一维丢到桶里面去

做一遍基数排序就好啦

这样就能够求出$sa$啦

看起来很简单诶。。

只是数组不要搞混了

一定搞清楚每个数组是干啥的

比如我的代码

$sa$是后缀数组，$sa[i]$表示排名为i的串是哪一个

$rnk[i]$相当于排名，$rnk[i]$表示第i个串的排名

$x,y$两个数组是记录顺序的

分别记录第一维和第二维的排序的顺序

$bln$是桶。

如果实在理解不了，就背吧，反正也没有多长

那么$lcp$数组怎么求呢？

取$\forall i<j$,不妨设$rnk[j]<rnk[k]$,那么以$j$开头的后缀和$k$开头的后缀的最长公共前缀就是$\min _{i=rnk[j]+1}^{rnk[k]} lcp[i]$。

有一个引理：

定义$h[i]=lcp[rnk[i]]$，那么，$h[i]\geq h[i-1]-1$

证明：设$s[k...]$为排在$s[i-1...]$的前一名的后缀，其最长公共前缀为$h[i-1]$,则$s[k+1...]$与$s[i...]$的最长公共前缀显然大于等于$h[i-1]-1$，原结论得证。

然后这样求就可以了：

    for (int i = 1; i <= N; i++) rnk[sa[i]] = i;

    for (int i = 1, j = 0; i <= n; i++) {

        if (j) j--;

        while (a[i + j] == a[sa[rnk[i] - 1] + j]) ++j;

        lcp[rnk[i]] = j;

    }

一些trick

总结蒯了一些食用SA时的$trick$：

一、对于可重复的最长重复子串问题（若子串$s$重复出现次数大于等于二，则称重复子串）$Ans=\max_{i=1}^nlcp_i$。

二、对于不可重叠的最长重复子串问题，二分，将问题转化为是否有两个长度为$k$的子串是相同的，且不重叠。将$lcp$数组分组，最长公共前缀不小于$k$的为一组其中如果有一组$sa[i]$之差大于$k$时，则成

立。

三、对于可重叠的重复$k$次最长重复子串，与上一种方法思路相似，二分，问题转化为判断是否存在$k$个长度为$l$的子串是相同的，将最长公共子串大于$l$的后缀分为一组，查看每一组内后缀个数是否大于$k$。

四、对于多个字符串的问题，通常用一个原串中不会出现的字符将两个字符串连接为一个。对于最长公共子串问题，首先将两个字符串用一个未出现过的字符连接起来，然后求出它们的最长公共前缀，解时注意判断是否在间隔符两边。

五、求取长度不小于$k$的公共子串个数时，将两个字符串按照上述方法连接，中间用一个未曾出现过的字符隔开，计算所有后缀之间最长公共前缀的长度，用单调栈维护最长公共前缀的长度。

六、对于在多个字符串中，出现不小于$k$个字符串的最长公共子串。按照上述方法连接多个字符串后，使用二分法。对于给定的长度，先分组，判断每组字符串后缀是否出现在不同的$k$个字符串中。

七、对于在每个字符串中至少出现两次且不重叠的最长公共子串时，按照上述方法连接多个字符串，使用二分法。对于给定的长度，先分组，判断是否有一组包含每个字符串中的两个不重叠答案。

一些后话

我还不太熟悉，题目暂未整理出来。

以后会提供每个$trick$的例题及一些题单。

如有错漏之处，请联系作者。

参考文章：

yyb的博客 https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8335194.html

清华大学出版社《ACM/ICPC算法基础训练教程》第8章