Burnside引理和Polya定理

转载自：https://blog.csdn.net/whereisherofrom/article/details/79631703

Burnside引理

　　笔者第一次看到Burnside引理那个公式的时候一头雾水，找了本组合数学的书一看，全是概念。后来慢慢从Polya定理开始，做了一些题总算理解了。本文将从最简单的例子出发，解释Burnside引理和Polya定理。然后提供一些自己做过的和上述定理相关的题目和解题报告。

　　Burnside引理是为了解决m种颜色给n个对象染色的计数问题。

　【例题1】如图1所示，2×2方格中每个格子可以选择染上2种颜色（红色或白色）。那么总共是2^4=16种情况。现在要问，如果旋转0度、90度、180度、270度后状态不变的方案算成同一种方案，问总共有多少种不同的方案。

图1

将每种旋转认为是一种"置换"，定义为gi，则上述问题总共有4种置换，分别描述为：

图2

用D(gi)表示在gi这种"置换"的作用下没有改变状态的方案集合，则根据图2易得：

图3

用|D(gi)|代表集合D(gi)中元素的个数，则有Burnside引理表示如图4所示：

图4

L代表m种颜色给n个对象染色的总方案数，|G|代表置换个数，|D(gi)|代表在gi这种置换作用下没有改变状态的方案个数。

　　上文中的例子套用Burnside引理就是 L = (16+2+4+2)/4 = 6。

　　这道题几乎是所有解释Burnside引理的文章都会提到的一个例子，因为它看起来很直观，然而当染色数或对象数逐渐增多时，方案数呈指数级增长，再来举个例子。

　　【例题2】一个3×3的方格，用10种颜色给每个格子染色，旋转0度、90度、180度、270度后相同的算成相同，问总共有多少种方案。

图5

　　给每个格子编个号，每个格子有10种颜色，总共9个格子，总情况数10^9，已经没办法枚举出来了。继续从Burnside引理的定义出发，|D(gi)|代表在gi这种置换作用下没有改变状态的方案个数，置换总共四种，那么我们将这四种置换都列出来：

　　1）旋转0度：也就是我们将这个3×3的方格旋转0度后，有多少种方案是没有改变状态的，答案很显然，就是10^9。也就是说，无论你哪个格子染成什么颜色都没关系，旋转0度前后状态不变（这是显然的）。

　　2）旋转90度：①③⑦⑨循环变换、②④⑥⑧循环变换，⑤永远不变。表示成置换群的乘积就是(1379)(2468)(5)。那么我们发现，只要在同一个循环中的格子颜色一致，则在这种置换下状态永远不会改变。所以(1379)可以取10种颜色、(2468)可以取10种颜色、(5)可以取10种颜色，总方案数10^3。

　　3）旋转180度：置换群为(19)(28)(37)(46)(5)，总方案数10^5。

　　4）旋转270度：类似旋转90度的，方案数10^3。

　　所以根据Burnside引理，总方案数就是(10^9 + 10^3 + 10^5 + 10^3)/4。

　　根据这个例子，就可以很好的理解Polya定理了。

Polya定理

图6

m种颜色给n个对象染色的方案数如图所示。G代表变换（置换）的种类，其中Ci代表每种置换下的循环节。