Solution -「多校联训」签到题

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定二分图 \(G=(X\cup Y,E)\)，求对于边的一个染色 \(f:E\rightarrow\{1,2,\dots,c\}\)，最小化每个结点所染颜色数量极差之和。输出这一最小值。

  \(|X|+|Y|,|E|\le10^6\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  基于“结论好猜”就能认为这题是签到题吗……

  答案显然有下界 \(\sum_{u}\left[c\not\mid \sum_{v}[(u,v)\in E]\right]\)。由于写一发过掉了大样例，我们尝试证明它必然可取到。

证明

  **引理（对于二分图的 Vizing 定理）：** 对于二分图 $G$，$\chi'(G)=\Delta(G)$，其中 $\chi'(G)$ 为 $G$ 的边染色的色数，$\Delta(G)$ 为 $G$ 中结点的最大度数。

  证明： 给出构造。按任意顺序枚举 \((x,y)\in E\)，令 \(p\) 为 \(x\) 的邻接边中未染的最小颜色，\(q\) 为 \(y\) 的邻接边中未染的最小颜色。由于 \(\chi'(G)=\Delta(G)\)，\(p,q\) 是存在的。

1. 若 \(p=q\)，令 \(f((x,y))=p\)。
2. 若 \(p\not=q\)，不妨令 \(p>q\)，必然存在增广路 \(P=\lang x_1=x,y_1,x_2,y_2,\cdots,x_k\rang\)，满足 \(\forall i\in[1,k),f((x_i,y_i))=p\land f((y_i,x_{i+1}))=q\)。同时，亦有 \(y\not\in P\)。我们翻转这条路径的边染色，即 \(f((x_i,y_i))\leftarrow q,f((y_i,x_{i+1}))\leftarrow p\)。此时可套用讨论 1.。

  综上，每条边都能被染色且不出现共色的邻接边。命题得证。 \(\square\)

  尝试将原命题向引理靠拢。令新图 \(G'\) 初始为 \(G\)。依次枚举 \(G'\) 中的结点 \(x\)，尝试将其拆点。设 \(x\) 的邻接点集为 \(\operatorname{adj}(x)\)，任取它的一个划分 \(S=\{S_1,\cdots,S_k\}\)，满足 \(|S_1|=\cdots=|S_{k-1}|=c\)，若 \(k>1\)，则令 \(V_{G'}\leftarrow V_{G'}\cup\{x_1,\cdots,x_k\}\setminus\{x\}\)，且 \(\operatorname{adj}(x_i)\leftarrow S_i\)。注意若 \(x\) 已是拆出的点，那么必然不会导致图的变动，拆点是可完成的。

  此后，发现 \(\Delta(G')\le c\) 且 \(G'\) 依旧是二分图。由引理，\(\chi'(G)=\Delta(G)\)，我们取出这样一个染色 \(f\)，将拆点合并回原图 \(G\) 且不改变边染色，显然 \(f\) 取到了答案下界。 \(\square\)

  \(\mathcal O(|X|+|Y|+|E|)\) 算一算就好。

\(\mathcal{Code}\)

/*~Rainybunny~*/

#ifndef RYBY
#pragma GCC optimize( "Ofast" )
#endif

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

inline char fgc() {
	static char buf[1 << 17], *p = buf, *q = buf;
	return p == q && ( q = buf + fread( p = buf, 1, 1 << 17, stdin ), p == q )
	   ? EOF : *p++;
}

inline int rint() {
	int x = 0, s = fgc();
	for ( ; s < '0' || '9' < s; s = fgc() );
	for ( ; '0' <= s && s <= '9'; s = fgc() ) x = x * 10 + ( s ^ '0' );
	return x;
}

const int MAXN = 1e6;
int n, m, k, c, deg[MAXN + 5];

int main() {
	freopen( "qiandao.in", "r", stdin );
	freopen( "qiandao.out", "w", stdout );

	n = rint(), m = rint(), k = rint(), c = rint();
	rep ( i, 1, k ) {
		int u = rint(), v = rint();
		++deg[u], ++deg[v + n];
	}
	int ans = 0;
	rep ( i, 1, n + m ) ans += !!( deg[i] % c );
	printf( "%d\n", ans );
	return 0;
}