[COGS 2066]七十和十七

2066. 七十和十七

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【题目描述】

七十君最近爱上了排序算法，于是Ta让十七君给Ta讲冒泡排序。

十七君给七十君讲完了冒泡排序以后，七十君回家苦思冥想，又创造了一种名

为七十排序的算法。下面是这个算法排序一个排列的过程：

首先从左到右扫描每个相邻数对。如果这两个数是逆序的，则将第二个数(也

就是小的数)放在整个排列的开头，其他数位置不变，并把计数器加一。如果

没有逆序的相邻数对了，就说明已经排好序了，算法终止。

七十君认为计数器的值反映了这个算法的运行时间。但十七君觉得七十君发明

的这个算法会很慢，所以他请你帮忙算算，对于所有长度为n的排列P，

\[E(n)=\frac{\sum f(P)}{n!}\]

的值，这里f(P)表示排列P运行算法结束时计数器的值。

【输入格式】

一行一个整数n。

【输出格式】

如果E(n)=a/b，求c使得

bc 三 a  (mod 10^9+7)

并输出，其中0≤c<10^9+7，如果e不存在输出-1。

【样例输入】

4

【样例输出】

250000005

【提示】

对于排列4 1 3 2，算法结束时计数器的值为5。

4 1 3 2，4和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 4 3 2，4和3形成逆序，将3放到排列最前方。

3 1 4 2，3和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 3 4 2，4和2形成逆序，将2放到排列最前方。

2 1 3 4，2和1形成逆序，将1放到排列最前方。

1 2 3 4，现在排列已经排序完毕。

E(4)=3.25。

数据范围与约定

对于20％的数据，n≤8。

对于40％的数据，n≤30。

对于60％的数据，n≤200。

对于1OO％的数据，n≤10^5。

题解

首先我们可以发现, 将 $n$ 个数排序的过程可以转化为按方案排序 $n-1$ 个数后将最后一个数按方案再排进去. 对于长度为 $n$ 的全排列, 若第 $n$ 个数 $a_n=n$ , 则不会引起计数器变动(因为它在前 $n-1$ 个排好序后就已经在最后了), 否则会引起计数器增加 $2^{a_n-1}$ . 枚举最后加入的数 $a_n$ 即可在 $O(n^2)$ 时间复杂度内解决. 最终表达式为:

\[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}2^{j-1}\]

注意到第二部分求和为等差数列形式, 我们可以通过等差数列求和公式进行计算. 于是上式可以化简为:

\[ans=\sum_{i=1}^n\frac{2^{i-1}-1}{i}\]

参考代码

GitHub

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>

 const int MOD=1e9+;

 int Pow(int,int,int);

 int main(){
     int n;
     scanf("%d",&n);
     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         ans=(ans+1ll*(Pow(,i-,MOD)-+MOD)%MOD*Pow(i,MOD-,MOD)%MOD)%MOD;
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

 int Pow(int a,int n,int p){
     int ans=;
     while(n>){
         if((n&)!=){
             ans=1ll*ans*a%p;
         }
         a=1ll*a*a%p;
         n>>=;
     }
     return ans;
 }

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