使用索贝尔(Sobel)进行梯度运算时的数学意义和代码实现研究

对于做图像处理的工程师来说，Sobel非常熟悉且常用。但是当我们需要使用Sobel进行梯度运算，且希望得到“数学结果”（作为下一步运算的基础）而不是“图片效果”的时候，就必须深入了解Sobel的知识原理和OpenCV实现的细节（当然我们是OpenCV支持则）。这里对具体内容进行研究。

一、基本原理

一般来说，用来表示微分的最常用的算子是索贝尔(Sobel)算子，它可以实现任意阶导数和混合偏导数(例如: ∂²/∂x∂y)。

在x方向上用Sobel算子进行近似一阶求导的结果

Sobel算子效果，y方向近似一阶导数

OpenCV中给出了函数使用的定义

,      ,      ,      // 偏移
  int             borderType = cv::BORDER_DEFAULT  // 边框外推方法
);

1、其中src和dst是源图像和目标图像，可以通过指明参数ddepth来确定目标图像的深度或类型（如CV_32F）。举个例子，如果src是一幅8位图像，那么dst需要至少CV_16S的深度保证不出现溢出；

2、xorder和yorder是求导顺序，其取值范围为0、1和2。0表示在这个方向上不进行求导，那2代表什么？

3、ksize是一个奇数，表示了调用的滤波器的宽和高，目前最大支持到31；

4、阈值和偏移将在把结果存入dst前调用，这有助于你将求导结果可视化.borderType参数的功能与其他卷积操作完全一样。

上面有一个遗留问题，就是xorder(yorder)取2的时候代表什么？为此翻阅OpenCV源码

step1

step 2

step3

  )
        ksizeX ;
      )
        ksizeY ;
    CV_Assert( ktype , ktype, , , ktype, ,    )
        CV_Error( CV_StsOutOfRange, );
    CV_Assert( dx    );
    ; k ; k    )
            kerI[] ;
         )
        {
             )
                kerI[] , kerI[] , kerI[] ;
             )
                kerI[] , kerI[] , kerI[] ;
            ] , kerI[] , kerI[] ;
        }
        ] ;
            ; i ] ;
            ; i ; i];
                ; j ];
                    kerI[j] ; i ];
                ; j ] ] ]);
        . . ));
        temp.convertTo(*kernel, ktype, scale);
    }
}

其中

 

那么，可以看见，当order ==2 时候，生成了[1 -2 1]作为类似的模板，不管是什么，这个不是我想要的。

除了上面看到的，还可以发现同时设置xorder 和 yorder的时候，最后并没有看到相加的动作。而如果我们计算的结果是梯度场的时候，就不仅要算xorder，而且要算yorder,并且最后要把这两个结果求和。如果自己编码，那么可能如下：

) ) ) ) ) );
   ) )   ) );
   gradSum += (abs(vx)+abs(vy));        

 

二、定量研究

    如果直接用自然图片（比如lena）,sobel计算之后可能啥都看不出来。为了定量研究，必须自己做图片。

    搞成这样，看的清楚

,),CV_8UC1,Scalar());
    line(matTst,Point(,),Point(,),Scalar());
    line(matTst,Point(,),Point(,),Scalar());

求一遍X方向的导数

,);

为什么要用16s?首先，所有的模式为CV_{8U,16S,16U,32S,32F,64F}C{1,2,3}，其中U代表char,S代表short,F代表float，这个和c++里面一样；8只能是正数，16/32都可以是负数。所有的C1和C都是一样的，比如cv_8uc1 == cv_8u。那么原始图像是CV_8UC1，也就是CV_8U了,那么进行卷积计算，也就是原图像和

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

或者类似的东西进行卷积计算，那么结果得到最大为 1*255+2*255+1*255 - 0  > 10000，最小的结果为 0 - 1*255+2*255+1*255  < -10000,所以要用CV_16SC1来保存，才合适。那么得到的结果为

​首先是有正有负，集中在中间区域值变化非常的大。取其中一个像素来看

中心位置 使用

-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

进行卷积，那么结果为

0*-1 + 255*0 + 0*1 +255*-2 +255*0 + 255*2 + 0 *-1 +255*0+0*1 = 0+0+0-255+0+255*2+0+0+0 = 0

其他结果也是，那么结果是符合卷积运算的。

计算Y方向卷积

,);

  

计算XY的卷积

  ,);

这个结果不是我想要的，我想要的是 (abs(vx)+abs(vy));    

那么这样实现

//求和

matXY = abs(matX) + abs(matY);

甚至可以进一步帮助显示

//方便显示

 normalize(matXY,matXY,0,255,NORM_MINMAX);

matXY.convertTo(matXY,CV_8UC1);

);都是不一样的

三、小结反思

应该说，Sobel大概能够做什么？这个很早之前就已经知道了。但是为什么能够达到这样的效果？这个问题，一直到我需要使用Sobel进行相关的数学计算的时候才能够搞明白。

掌握知识最后要归结到数学抽象层次，才能够算是彻底掌握。这是Sobel之外的获得。

感谢阅读至此，希望共同进步！