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大吉大利,晚上吃鸡

  新年走亲访友能干点啥呢,咱开黑吃鸡吧。

  这里有32个人,每个人都可能想玩或者不想玩,这样子一共有$2^{32}$种可能。而要开黑当然得4人4人组一队(四人模式),所以说如果想玩的人数不是4的倍数,大家就会不高兴。那么,这$2^{32}$种可能中有多少种是大家都高兴的呢?(即使没人想吃鸡也是一个大家都高兴的可能)

  由于数字较小,可以借助计算器直接算出来。

  考虑式子$(1+a)^{32}$,当a=-1时和a=1时进行二项式展开,并将2式相加可得

  $$\sum_{i=0}^{16}C_{32}^{2i}=2^{31}$$

  再考虑当a=i时和a=-i时进行二项式展开,并将两式相加可得

  $$\sum_{i=0}^{16}(-1)^i*C_{32}^{2i}=2^{16}$$

  再次相加可得

  $$\sum_{i=0}^{8}C_{32}^{4i}=2^{30}+2^{15}$$

  定位:中等题、思维题

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