题解 $UVA$ 11825【$Hackers$' $Crackdown$】

本题的数学模型是：把\(\mathcal{n}\)个集合\(\mathcal{P1,P2,...,Pn}\)分成尽量多组，使得每组中所以集合的并集等于全集。这里集合\(\mathcal{Pi}\)就是计算机\(\mathcal{i}\)及其相邻计算机的集合，每组对应于题目中的一项服务。

注意到\(\mathcal{n}\)很小，可以套用《算法竞赛》里面提到的二进制法表示这些集合，即在代码中，

每个集合\(\mathcal{Pi}\)实际上是一个非负整数。输入部分代码如下：

for(int i=0;i<n;i++)
{
	int m,x;
    scanf("%d",&m);
    P[i]=1<<i;
    while(m--)
    {
    	scanf("%d",&x);
        P[i]|=(1<<x);
    }
}

为了方便，窝萌用\(\mathcal{cover(S)}\)表示若干\(\\mathcal{Pi}\)的并集（二进制表示），即这些\(\mathcal{Pi}\)在数值上的“按位或”。

for{int S=0;S<(1<<n);S++)
{
	cover[S]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    if(S & (1<<i)) cover[S]=P[i];
}

不难想到这样的动态规划：用\(\mathcal{f(S)}\)表示子集\(S\)最多可以分成多少组，则

\(\mathcal{f(S)=max(f(S-S0)|S0}\)\(\text{是S的子集，}\)\(\mathcal{cover[So]}\)\(\text{等于全集)}\)\(\text{+1}\)

---

\(\text{（划重点！！）}\)\(\text{这里有一个重要的技巧：枚举}\)\(\mathcal{S}\)\(\text{的子集}\)\(\mathcal{S0}\)。

---

详见下面代码：

f[0]=0;
int All=(1<<n)-1;
for(int S=1;S<(1<<n);S++
{
	f[S]=0;
    for(int S0=S;S0;S0=(S0-1)&S)
    if(cover[S0]==All f[S]=max(f[S],f[S^S0]+1);
}
printf("Case %d: %d\n",++kase,f[ALl]);

如何分析上述算法的时间复杂度呢\(qwq\)？它等于全集\(\mathcal{(1,2,3,...,n)}\)的所有子集的子集个数之和，也可以令

\(\mathcal{c(S)}\)表示集S的子集的个数（它等于\(\text{2}\)\(\mathcal{^|}\)\(\mathcal{^s}\)\(\mathcal{^|}\))，则本题的时间复杂度为

\(\mathcal{sum(c(S)|S0}\)\(\text{是(1,2,3,...,n)的子集）}\)。

注意到元素个数相同的集合，其子集个数也相同，窝萌可以按照元素个数“合并同类元素项”。元素个数为\(k\)的集合有

\(\mathcal{C(n,k)}\)个，其中每个集合有\(\text{2}\)\(\mathcal{^k}\)个子集（高一\(\mathcal{New}\) \(\mathcal{knowledge}\)),

因此本题的时间复杂度为

\(\mathcal{sum(C(n,k)}\)\(\text{2}\)\(\mathcal{^k}\)\(\mathcal{=}\)\(\text{(2+1)}\)\(\mathcal{^n}\)\(\mathcal{=}\)\(\text{3}\)\(\mathcal{^n}\)其中第一个等号得到的用到了二项式定理（不过是反着用的\(QwQ\)）

本题比较抽象，大家花点时间仔细想明白哦~~