uoj348【WC2018】州区划分

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直接讲吨吨吨给的标准做法吧。记\(f(i,j)\)表示各个州(可以重叠)的城市数量之和为i，这些州的并集为j的方案数，反正若有两个州之间有交集最后的\(|j|\)会不等于\(i\)。有

\(f(i,s)=\sum_{s1} \sum_{s2}[s1|s2==s] \ f(i-|s2|,s1)*can(s2) (\frac{vals(s2)}{vals(s)})^p\)

\(f(i,s)*vals(s)^p=\sum_j \sum_{|s2|=j} \sum_{s1} [s1|s2==s]\ f(i-j,s1)*can(s2) *vals(s2)^p\)

记\(g(|s|,s)\)表示\(can(s)*vals(s)^p\)，先在最开始DWT所有的g，枚举i，j，然后卷一下\(f_{i-j}\)与\(g_j\)，只要在dp的过程中一直保持f是已经DWT了的，卷积的复杂度就只有\(O(2^n)\)，记得\(f_i\)算完以后要IDWT一下乘上\(vals(s)^{-p}\)再DWT。复杂度\(O(n^22^n)\)

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define P puts("lala")
#define cp cerr<<"lala"<<endl
#define ln putchar('\n')
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();int g=1,re=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')g=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') re=(re<<1)+(re<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return re*g;
}
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

const int N=25;
const int mod=998244353;
inline ll qpow(ll a,int n)
{
	ll ans=1;
	for(;n;n>>=1,a=a*a%mod) if(n&1) ans=ans*a%mod;
	return ans;
}

void FWT(int *a,int n,ll f)
{
	for(int step=1;step<n;step<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(step<<1))
			for(int k=j;k<j+step;++k)
			{
				int x=a[k],y=a[k+step];
				a[k+step]=(y+f*x+mod)%mod;
			}
}

int head[N],cnt=0;
struct node
{
	int to,next;
}e[N*N];
inline void add(int x,int y)
{
	e[++cnt]=(node){y,head[x]}; head[x]=cnt;
	e[++cnt]=(node){x,head[y]}; head[y]=cnt;
}
int val[N],n,m,vals[1<<21|1],deg[N],fa[N];
bool can[1<<21|1];
pii edg[N*N];

inline int find(int x)
{
	if(fa[x]!=x) return fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}

int f[23][1<<21|1],g[23][1<<21|1];
void wj()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("walk.in","r",stdin);
	freopen("walk.out","w",stdout);
#endif
}
int main()
{
	wj();
	n=read(); m=read(); int p=read();
	for(int i=1;i<=m;++i)
	{
		int x=read(),y=read();
		add(x,y);
		edg[i]=pii(x,y);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) val[i]=read();
	int tot=1<<n;
	for(int s=0;s<tot;++s)
	{
		int all=0;
		for(int i=1;i<=n;++i) if(s&(1<<i-1)) vals[s]+=val[i],all++;
		vals[s]=qpow(vals[s],p);
		for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i,deg[i]=0;
		for(int i=1;i<=m;++i) if((s&(1<<edg[i].fi-1))&&(s&(1<<edg[i].se-1)))
		{
			deg[edg[i].fi]++; deg[edg[i].se]++;
			int r1=find(edg[i].fi),r2=find(edg[i].se);
			if(r1!=r2) all--;
			fa[r1]=r2;
		}
		can[s]=1;
		if(all!=1) continue;
		for(int i=1;i<=n;++i) if(s&(1<<i-1))
			if(deg[i]&1) {can[s]=1;break;}
			else can[s]=0;
	}
	f[0][0]=1;
	for(int s=0;s<tot;++s)
		g[__builtin_popcount(s)][s]=can[s]*vals[s],vals[s]=qpow(vals[s],mod-2);

	FWT(f[0],tot,1);
	for(int i=1;i<=n;++i) FWT(g[i],tot,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<=i;++j)
		{
			for(int k=0;k<tot;++k) f[i][k]=(f[i][k]+1ll*f[i-j][k]*g[j][k])%mod;
		}
		if(!p) continue;
		FWT(f[i],tot,-1);
		for(int k=0;k<tot;++k) f[i][k]=1ll*f[i][k]*vals[k]%mod;
		FWT(f[i],tot,1);
	}
	FWT(f[n],tot,-1);
	printf("%d\n",f[n][tot-1]);
	return 0;
}