1020: [SHOI2008]安全的航线flight - BZOJ

Description

在设计航线的时候，安全是一个很重要的问题。首先，最重要的是应采取一切措施确保飞行不会发生任何事故，但同时也需要做好最坏的打算，一旦事故发生，就要确保乘客有尽量高的生还几率。当飞机迫降到海上的时候，最近的陆地就是一个关键的因素。航线中最危险的地方就是距离最近的陆地最远的地方，我们称这种点为这条航线“孤地点”。孤地点到最近陆地的距离被称为“孤地距离”。作为航空公司的高级顾问，你接受的第一个任务就是尽量找出一条航线的孤地点，并计算这条航线的孤地距离。为了简化问题，我们认为地图是一个二维平面，陆地可以用多边形近似，飞行线路为一条折线。航线的起点和终点都在陆地上，但中间的转折点是可能在海上（如下图所示，方格标示出了孤地点）。
Input

输入的第一行包括两个整数C和N（1≤C≤20，2≤N≤20），分别代表陆地的数目的航线的转折点的数目。接下来有N行，每行有两个整数x,y。(x,y)表示一个航线转折点的坐标，第一个转折点为航线的起点，最后一个转折点为航线的终点。接下来的输入将用来描述C块大陆。每块输入由一个正整数M开始（M≤30），M表示多边形的顶点个数，接下来的M行，每行会包含两个整数x,y，(x,y)表示多边形的一个顶点坐标，我们保证这些顶点以顺时针或逆时针给出了该多边形的闭包，不会出现某些边相交的情况。此外我们也保证输入数据中任何两块大陆不会相交。输入的所有坐标将保证在-10000到10000的范围之间。
Output

输出一个浮点数，表示航线的孤地距离，数据保留2位小数。
Sample Input
1 2
-9 -6
5 1
3
0 16
-16 -12
17 -6
Sample Output
0.00

原来的解法是二分答案，然后把陆地扩展，再判断是否覆盖了航线，但是太繁琐，我根本写不出来

所以我用的是莫涛的那种解法

没想到我竟然错在求垂足上，囧..........

但是答案竟然正确了，时间变长了好多，查了好久才查出来

1.初始化孤地点可能位于的线段集合为整条航线。
2.对于长L的某条线段，左端点与陆地的最近点为P1，右端点与陆地的最近点为P2，那么该线段上的孤地距离将受P1与P2影响。具体来说，利用二分求出该线段上的点P使得dis(p1,p)=dis(p2,p)
令r=dis(p1,p),若r小于已有的最优答案，那么可以删除该线段。（当然，这个只要r-0.001<ans就行了，只要精度达到了就行，不然就是死循环了）
4.取所有线段的中点更新答案。
5.将所有线段从中点分成左右两条线段。
6.不断进行2，3，4直到线段的集合为空。

这个做法效率很高，（哇，好开心，在BZOJ上是pascal第一）

我们现在要讨论的就是这个算法的正确性

现在我们有一条线段和对应的p1和p2，分别是左端点最近的点和右端点最近的点

有三种情况

然后我们发现线段上的点到自己最近点的距离不会超过max(dis(p1,p),dis(a,p1),(b,p2))（a，b分别为线段的左右端点）

所以我们的删除操作是对的，我们删除的都是不会更新答案的线段，就像ydc说的一样，这个就像是搜索剪枝

时间效率也很好，只是细节要注意，不要像我一样傻×，连求垂足都求错

 /**************************************************************
     Problem:
     User: 1997cb
     Language: Pascal
     Result: Accepted
     Time: ms
     Memory: kb
 ****************************************************************/

 const
     maxn=;
     maxm=;
     maxq=;
     eps=1e-16;
 type
     point=record
       x,y:double;
     end;
     polygon=record
       tot:longint;
       a:array[..maxm]of point;
     end;
     seg=record
       a,b,neara,nearb:point;
     end;
 var
     c,head,tail:longint;
     ans:double;
     s:array[..maxq]of seg;
     p:array[..maxn]of polygon;

 function max(x,y:double):double;
 begin
     if x>y then exit(x);
     exit(y);
 end;

 function cj(x1,y1,x2,y2:double):double;
 begin
     exit(x1*y2-y1*x2);
 end;

 function on(var a,b,c:point):boolean;
 begin
     exit((abs(cj(b.x-a.x,b.y-a.y,c.x-a.x,c.y-a.y))<=eps) and ((a.x-c.x)*(b.x-c.x)<=eps) and ((a.y-c.y)*(b.y-c.y)<=eps));
 end;

 function jiao(var a,b,c,d:point):boolean;
 begin
     exit((cj(b.x-a.x,b.y-a.y,d.x-a.x,d.y-a.y)*cj(b.x-a.x,b.y-a.y,c.x-a.x,c.y-a.y)<=eps) and (cj(d.x-c.x,d.y-c.y,a.x-c.x,a.y-c.y)*cj(d.x-c.x,d.y-c.y,b.x-c.x,b.y-c.y)<=eps));
 end;

 function include(var a:polygon;var b:point):boolean;
 var
     i,tot:longint;
     k:point;
 begin
     for i:= to a.tot do
       if on(a.a[i],a.a[i mod a.tot+],b) then exit(true);
     tot:=;
     k.x:=-;
     k.y:=;
     for i:= to a.tot do
       if jiao(a.a[i],a.a[i mod a.tot+],k,b) then inc(tot);
     if tot and = then exit(true);
     exit(false);
 end;

 procedure get(var near,a:point;var dis:double;var b,c:point);
 var
     d:double;
 begin
     if (c.x-b.x)*(a.x-b.x)+(c.y-b.y)*(a.y-b.y)<=eps then
     begin
       d:=sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));
       if dis>d+eps then
       begin
         near:=b;
         dis:=d;
       end;
       exit;
     end;
     if (c.x-b.x)*(a.x-c.x)+(c.y-b.y)*(a.y-c.y)>=-eps then
     begin
       d:=sqrt(sqr(a.x-c.x)+sqr(a.y-c.y));
       if dis>d+eps then
       begin
         near:=c;
         dis:=d;
       end;
       exit;
     end;
     d:=cj(c.x-b.x,c.y-b.y,a.x-b.x,a.y-b.y)/sqrt(sqr(b.x-c.x)+sqr(b.y-c.y));
     if dis>abs(d)+eps then
     begin
       dis:=abs(d);
       near.x:=a.x+(c.y-b.y)*d/sqrt(sqr(b.x-c.x)+sqr(b.y-c.y));
       near.y:=a.y-(c.x-b.x)*d/sqrt(sqr(b.x-c.x)+sqr(b.y-c.y));
     end;
 end;

 procedure find(var a,b:point);
 var
     i,j:longint;
     dis:double;
 begin
     for i:= to c do
       if include(p[i],b) then
       begin
         a:=b;
         exit;
       end;
     dis:=<<;
     for i:= to c do
       for j:= to p[i].tot do
         get(a,b,dis,p[i].a[j],p[i].a[j mod p[i].tot+]);
     ans:=max(ans,dis);
 end;

 procedure init;
 var
     i,j:longint;
 begin
     read(c,tail);
     head:=;
     for i:= to tail do
       with s[i].a do
         read(x,y);
     for i:= to c do
       with p[i] do
         begin
           read(tot);
           for j:= to tot do
             with a[j] do
               read(x,y);
         end;
     for i:= to tail do
       with s[i] do
         find(neara,a);
     for i:= to tail- do
       begin
         s[i].b:=s[i+].a;
         s[i].nearb:=s[i+].neara;
       end;
 end;

 procedure work;
 var
     l,r,mid:point;
     d:double;
 begin
     while head<>tail do
       begin
         l:=s[head].a;
         r:=s[head].b;
         while (sqrt(sqr(l.x-r.x)+sqr(l.y-r.y))>1e-4) do
           begin
             mid.x:=(l.x+r.x)/;
             mid.y:=(l.y+r.y)/;
             with s[head] do
             if sqrt(sqr(mid.x-neara.x)+sqr(mid.y-neara.y))<sqrt(sqr(mid.x-nearb.x)+sqr(mid.y-nearb.y)) then l:=mid
             else r:=mid;
           end;
         with s[head] do
         d:=max(sqrt(sqr(l.x-neara.x)+sqr(l.y-neara.y)),sqrt(sqr(l.x-nearb.x)+sqr(l.y-nearb.y)));
         mid.x:=(s[head].a.x+s[head].b.x)/;
         mid.y:=(s[head].a.y+s[head].b.y)/;
         find(l,mid);
         if d>ans+0.001 then
         begin
           s[tail].a:=s[head].a;
           s[tail].b:=mid;
           s[tail].nearb:=l;
           s[tail].neara:=s[head].neara;
           tail:=tail mod maxq+;
           s[tail].a:=mid;
           s[tail].b:=s[head].b;
           s[tail].neara:=l;
           s[tail].nearb:=s[head].nearb;
           tail:=tail mod maxq+;
         end;
         head:=head mod maxq+;
       end;
     write(ans::);
 end;

 begin
     init;
     work;
 end.