隐马尔科夫模型及Viterbi算法的应用

作者：jostree 转载请注明出处 http://www.cnblogs.com/jostree/p/4335810.html

一个例子：

韦小宝使用骰子进行游戏，他有两种骰子一种正常的骰子，还有一种不均匀的骰子，来进行出千。

开始游戏时他有2/5的概率出千。

对于正常的骰子A，每个点出现的概率都是1/6.

对于不均匀的骰子B，5，6两种出现的概率为3/10，其余为1/10.

出千的随机规律如下图所示：

我们观测到的投掷结果为：ob={1，3，4，5，5，6，6，3，2，6}

请判断韦小宝什么时候出千了？

我们可以这样建模$x_i$表示第$i$次投掷的骰子的种类，$y_i$表示第$i$次投掷出的点数，$\lambda$表示各个概率参数。

那么第$t$次使用第$i$种骰子投掷的概率$\delta_t(i)$等于

\begin{equation} \delta_t(i)=\max_{x_1,\dots,x_{t-1}}P(x_1,\dots,x_{t-1},x_t=i,y_1,\dots,y_t|\lambda) \end{equation}

其实$\delta_{t+1}(i)$可以由$\delta_t(i)$推倒得出：

\begin{eqnarray} \delta_{t+1}(i) &=& \max_{x_1,\dots,x_{t}}P(x_1,\dots,x_{t},x_{t+1}=i,y_1,\dots,y_{t+1}|\lambda)\\ &=& \max_j \delta_t(j)\alpha_{ji}\beta_i(y_{t+1})\end{eqnarray}

其中$\alpha_{ji}$表示从第$j$个骰子转移到第$i$个骰子的概率。

$\beta_i(y_{t+1})$表示使用第i个骰子投出点$y_{t+1}$的概率。

从而可以使用上述利用动态规划算法进行逐次递推计算。

得到的结果为：

t	$y_t$	$\delta_t(A)$	$\Psi_t(A)$	$\delta_t(B)$	$\Psi_t(B)$
1	1	0.1	A	0.04	A
2	3	0.0133333	A	0.0036	B
3	4	0.00177778	A	0.000324	B
4	5	0.000237037	A	0.000106667	A
5	5	3.16049e-05	A	2.88e-05	B
6	6	4.21399e-06	A	7.776e-06	B
7	6	5.61866e-07	A	2.09952e-06	B
8	3	7.49154e-08	A	1.88957e-07	B
9	2	9.98872e-09	A	1.70061e-08	B
10	6	1.33183e-09	A	4.59165e-09	B

因为最后一步$\delta_t(B)$的值大于$\delta_t(A)$，所以一次使用B骰子的概率最大，从而一直向上回溯，得到的使用骰子的序列为：AAABBBBBBB

代码如下所示：

 #include <stdlib.h>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <string>
 #include <iostream>
 using namespace std;
 double initP[] = {0.6, 0.4};//骰子A，B的初始概率
 double transferMatrix[][] = {{0.8, 0.2}, {0.1, 0.9}};//骰子之间的转移概率
 double EmissionP[][]={{/6.0, /6.0, /6.0, /6.0, /6.0, /6.0},//骰子A的发射概率
                         {0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.3, 0.3}};//骰子B的发射概率
 double dp[][];//dp[i][j]第i步时，使用第j个骰子的最大概率
 double dpS[][];//dpS[i][j]第i步时，使用第j个骰子，得到的最大概率时，使用的骰子种类, 0->A, 1->B
 int ob[] = {, , , , , , , , , };//观测点数
 bool diceArray[];//预测骰子使用序列
 void Viterbi()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     memset(dpS,,sizeof(dpS));
     memset(diceArray,,sizeof(diceArray));
     dp[][] = initP[]* EmissionP[][ob[]-];
     dp[][] = initP[]* EmissionP[][ob[]-];
     for( int i =  ; i <  ; i++ )//投掷次数
     {
         for( int j =  ; j <  ; j++ )//当前状态
         {
             for( int k =  ; k <  ; k++ )//上一个状态
             {
                 double tempP = dp[i-][k] * transferMatrix[k][j] * EmissionP[j][ob[i]-] ;
                 if( dp[i][j] < tempP )
                 {
                     dp[i][j] = tempP;
                     dpS[i][j] = k;
                 }
             }
         }
     }
     int maxState = ;
     if( dpS[][] < dpS[][] )
     {
         maxState = ;
     }
     for( int i =  ; i >= ; i-- )
     {
         diceArray[i] = maxState;
         maxState = dpS[i][maxState];
     }
 }
 int main(int argc, char *argv[])
 {
     Viterbi();
     cout<<"每步每个状态下的概率和骰子种类:"<<endl;
     for( int i =  ; i <  ; i++ )
     {
         for( int j =  ; j <  ; j++ )
         {
             cout<<dp[i][j]<<" "<<dpS[i][j]<<"    ";
         }
         cout<<endl;
     }
     cout<<"预测骰子种类，0->A, 1->B : "<<endl;
     for( int i =  ; i <  ; i++ )
     {
         cout<<diceArray[i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
 }
 /* result:
 每步每个状态下的概率和骰子种类:
 0.1 0    0.04 0
 0.0133333 0    0.0036 1
 0.00177778 0    0.000324 1
 0.000237037 0    0.000106667 0
 3.16049e-05 0    2.88e-05 1
 4.21399e-06 0    7.776e-06 1
 5.61866e-07 0    2.09952e-06 1
 7.49154e-08 0    1.88957e-07 1
 9.98872e-09 0    1.70061e-08 1
 1.33183e-09 0    4.59165e-09 1
 预测骰子种类，0->A, 1->B :
 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
 */