【BZOJ】【3930】【CQOI2015】选数

数论/莫比乌斯反演/快速mu前缀和

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　　比较容易想到令f[x]表示gcd=x的方案数，令g[x]表示x|gcd的方案数。

　　那么有$ g(d)=\sum_{d|n} f(n)$，根据莫比乌斯反演，有$f(d)=\sum_{d|n} g(n)*\mu (\frac{n}{d})$

　　我一开始想的是算出g以后，倒序枚举 i ，然后枚举 i 的倍数，递推出所有的f[i]……

　　因为g比较好算嘛……快速幂一下什么的……

　　然而$10^9$直接吓傻我。

　　Orz PoPoQQQ

　　快速求出mu的前缀和，$10^9$也照样不虚，太神辣

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     Problem: 3930
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:4200 ms
     Memory:54024 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3930
 #include<cstdio>
 #include<map>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=1e7+,P=1e9+;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 /*******************template********************/

 int mu[N],prime[],tot;
 bool check[N];
 map<int,LL> mu_sum;
 LL n,d,l,r;
 void getmu(){
     int n=;
     mu[]=;
     F(i,,n){
         if (!check[i]){
             mu[i]=-;
             prime[++tot]=i;
         }
         F(j,,tot){
             int k=i*prime[j];
             if (k>n) break;
             check[k]=;
             if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i];
             else{
                 mu[k]=;
                 break;
             }
         }
     }
     F(i,,n) mu[i]+=mu[i-];
 }
 LL Mu_sum(int x){
     if (x<=) return mu[x];
     if (mu_sum.find(x)!=mu_sum.end())
         return mu_sum[x];
     LL i,last,re=;
     for(i=;i<=x;i=last+){
         last=x/(x/i);
         if (x/i-)
             re-=(Mu_sum(last)-Mu_sum(i-))*(x/i-);
     }
     return mu_sum[x]=re;
 }
 LL Pow(LL a,int b){
     LL r=;
     for(;b;b>>=,a=a*a%P) if (b&) r=r*a%P;
     return r;
 }
 LL solve(){
     LL i,last,re=;
     for(i=;i<=r;i=last+){
         last=min(r/(r/i),l/i?(l/(l/i)):INF);
         re+=(Mu_sum(last)-Mu_sum(i-))*Pow(r/i-l/i,n);
         re%=P;
     }
     return (re%P+P)%P;
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("3930.in","r",stdin);
     freopen("3930.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint(); d=getint(); l=getint(); r=getint();
     l=(l-)/d; r=r/d;
     getmu();
     printf("%lld\n",solve());
     return ;
 }

　　然而$H-L \leq 10^5$并没用？不是的……我们可以枚举倍数！

　　Orz syk

　　记f[i]为gcd恰好为$K*i$的选数方案数，那么对于每一个$i$记$L$为$\lceil \frac{a}{K*i}\rceil $，$R$为$\lfloor\frac{b}{K*i}\rfloor$ 那么他的方案数就为$f[i] = (R-L+1) ^ N - (R-L+1)-\sum_{a=1,2,\dots} f[a*i]$最后的f[1]即为答案。注意若$\lceil \frac{a}{K} \rceil == 1$ 那么全部选K也是一种方案，需要+1。

　　（话说好不容易想到一次莫比乌斯反演，然而却做不出来……唉

 /**************************************************************
     Problem: 3930
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:412 ms
     Memory:1664 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3930
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=1e5+,P=1e9+;
 /*******************template********************/

 int d[N],n,K,l,r,a,b;
 int Pow(int a,int b){
     int r=;
     for(;b;b>>=,a=(LL)a*a%P) if (b&) r=(LL)r*a%P;
     return r;
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("3930.in","r",stdin);
     freopen("3930.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint(); K=getint(); a=getint(); b=getint();
     l=a/K; r=b/K;
     if (a%K) l++;
     D(i,,){
         int R=r/i,L=l/i;
         if (l%i) L++;
         if (l<=r){
             d[i]=Pow(R-L+,n);
             d[i]=(d[i]-(R-L+)+P)%P;
             for(int j=i+i;j<=;j+=i) d[i]=(d[i]-d[j]+P)%P;
         }
     }
     if (l==) d[]=(d[]+)%P;
     printf("%d\n",d[]);
     return ;
 }

3930: [CQOI2015]选数

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 434  Solved: 222
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Description

我
们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方
案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要
回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

输出一个整数，为所求方案数。

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

样例解释

所有可能的选择方案：(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组：(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据，1≤N,K≤10^9，1≤L≤H≤10^9，H-L≤10^5

Source

[Submit][Status][Discuss]