可持久化数据结构QwQ（持续更新中）

可持久化留下的迹象 我们俯身欣赏

　　　　　　　　　　——《膜你抄》By Menci&24OI

Micardi最近在学可持久化的东西，可持久化线段树、可持久化并查集、可持久化01Trie......等等等等恶心人的东西QwQ。不过呢，犯其至难，图其至远，如果能静下心来搞定这些乱七八糟的玩意，相信对自己的OI之路也会大有裨益吧QwQ。

（不过照Micardi的尿性这或许会是一篇更不完的博文QwQ）

言归正传!

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1.主席树（可持久化线段树）

属于Micardi的数据结构！

什么是主席树？

主席树，本名可持久化线段树——顾名思义，它是一种基于线段树、并且可持久的一种数据结构。为什么要叫主席树？因为它是由一位名叫黄嘉泰的巨佬发明的......而这位巨佬的名字缩写对应了前国家主席2333333因此得名。主席树还有个名字叫函数式线段树，这我们就不用去管因为什么了因为我也不太懂啊QAQ......

主席树怎么用？

来，让我们步入正题：

Q1：给出序列a_n，你需要对该序列进行两种操作：1.在某一历史版本基础上修改某个元素值；2.查询某一历史版本里的某一元素值。我们定义初始序列为版本0，每进行一次操作都会生成一个新的版本。序列内元素个数n、操作数m均≤5×10⁶。

单点修改+单点查询，很自然地，我们想到了线段树、树状数组(分块、莫队、splay)......于是最暴力的做法显而易见：每一个版本我们都建立一颗线段树，然后模拟修改和查询。时间复杂度O（mnlogn），显然无法承受——而且m棵线段树，真的不怕赤果果的MLE嘛？

这个时候，我们就要搬出我们的主席树啦！

我们考虑这样一个问题：从算法正确性上考虑，不停地建立线段树——是对的，我们需要做的是优化这种做法可怕的时空复杂度。如何优化呢？我们要从线段树特点上下手啦：

假设已知序列1，2，3，4，5，我们建一颗线段树：

如果我们现在要修改3，会有哪些节点被修改呢？

很显然啦，只有这个叶子节点到树根一条路上的节点会被修改——深入思考一下不难发现，对于每一次单点修改，我们其实只需要修改它->它爸->它爷爷->......->树根这些节点。由于线段树是一颗平衡二叉树，树高差不多就是logn（这么不严谨应该拖出去打死）所以我们每次只需要修改logn个节点即可——完全用不着再重新建一整颗线段树。

可是我们怎么知道要改哪些呢？——画画图也不难发现，由于线段树每一个节点左儿子的sum存储的是该节点对应区间左半边的信息，右儿子存储的是右半边的信息，假设我们要修改的位置是x，那么如果x在左半边（即x<=mid）我们就去修改左子树，保留右子树，反之亦然。这样从根节点递归到叶子结点，我们就可以完成一次修改啦：

Luogu P3919 【模板】可持久化数组（主席树）：

#include<bits/stdc++.h>
#define mid ((l+r)/2)
using namespace std;

const int N=;

int sum[N<<],L[N<<],R[N<<],rt[N<<],a[N],cnt;
int n,m;

int build(int l,int r)
{
    int rt=++cnt;
    if(l==r)
    {
        sum[rt]=a[l];
        return rt;
    }
    L[rt]=build(l,mid);R[rt]=build(mid+,r);
    return rt;
}

int upd(int pre,int l,int r,int x,int v)//把第pre个版本修改成v
{
    int rt=++cnt;
    L[rt]=L[pre],R[rt]=R[pre],sum[rt]=sum[pre];
    if(l==r){sum[rt]=v;return rt;}
    if(x<=mid)L[rt]=upd(L[pre],l,mid,x,v);
    else R[rt]=upd(R[pre],mid+,r,x,v);
    return rt;
} 

int query(int pre,int l,int r,int x)
{
    if(l==r)return sum[pre];
    if(x<=mid)return query(L[pre],l,mid,x);
    else return query(R[pre],mid+,r,x);
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    rt[]=build(,n);
    for(register int i=;i<=m;++i)
    {
        int opt,x,y;
        scanf("%d%d%d",&x,&opt,&y);
        if(opt==)
        {
            int z;scanf("%d",&z);
            rt[i]=upd(rt[x],,n,y,z);
        }
        else
        {
            rt[i]=rt[x];
            printf("%d\n",query(rt[x],,n,y));
        }
    }
    return ;
}

Q2：给出序列a_n，查询区间第k小值。序列长度n、查询次数m均≤2×10⁵。

静态区间第k小值......暴力倒是非常好写。O（mnlogn）随便搞就搞出来了——不过思考一下如何在时限内跑完呢？

我会莫队！我会整体二分！既然你讲主席树那么这一定要用主席树写！......

咳，这的确是主席树的经典模板之一。我们还是从一个栗子开始——3 2 1 4：

开始我先搞一颗空树：