数学（数论）BZOJ 3309：DZY Loves Math

Description

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

Input

第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。

Output

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

Sample Input

4
10000
7558588 9653114
6514903 4451211
7425644 1189442
6335198 4957

Sample Output

35793453939901
14225956593420
4332838845846
15400094813

HINT

【数据规模】

T<=10000

1<=a,b<=10^7

　　莫比乌斯反演得到：

（盗图）

　　然后有类似于yy的GCD的做法，分块加速，复杂度变O(√n)

　　问题就是如何快速预处理出后面的式子，设其为g(x)，这时研究g函数性质，g(x)的取值有哪些规律呢？

　　将x分解质因数，x=p₁^a₁*p₂^a₂*p₃^a₃*……*p_n^a_n，函数即是将x分解成两个集合，求值再求和。

　　1.假设a不全是同一个值，那么那个较小的素数，可以对每个情况属于两个集合使得其值互为相反数，所以值为0。

　　2.a值全相等时，易得g(x)=(-1)^a-1，根据欧拉线性筛的性质，每个数被最小的素因子枚举到，可以维护两个值，当前的a值，去掉当前最小的素因子后的数。

　　然后就可以

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 using namespace std;
 const int N=;
 int g[N],nxt[N],mem[N];
 int prime[N],cnt;
 bool check[N];

 void Prepare(){
     for(int i=;i<N;i++){
     if(!check[i]){
         prime[++cnt]=i;
         g[i]=nxt[i]=mem[i]=;
     }
     for(int j=;j<=cnt;j++){
         if(i*prime[j]>=N)break;
         check[i*prime[j]]=true;
         if(i%prime[j]==){
         nxt[i*prime[j]]=nxt[i];
         mem[i*prime[j]]=mem[i]+;
         if(nxt[i]==)g[i*prime[j]]=;
         else if(mem[nxt[i]]==mem[i]+)
             g[i*prime[j]]=-g[nxt[i]];
         else g[i*prime[j]]=;
         break;
         }
         else{
         nxt[i*prime[j]]=i;
         mem[i*prime[j]]=;
         g[i*prime[j]]=(mem[i]==)?-g[i]:;
         }
     }
     }
     for(int i=;i<N;i++)
     g[i]+=g[i-];
 }
 int T,a,b;
 long long ans;
 int main(){
     Prepare();
     scanf("%d",&T);
     while(T--){
     scanf("%d%d",&a,&b);
     if(a>b)swap(a,b);ans=;
     for(int i=,p=;i<=a;i=p+){
         p=min(a/(a/i),b/(b/i));
         ans+=1ll*(g[p]-g[i-])*(a/i)*(b/i);
     }
     printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

维护了。