Frog 3 题解

Frog 3

题目大意

题意都这么明确了还要这个干什么。

存在 \(n\) 个点，每个点有一个属性 \(h_i\)，\(h_i\) 单增，从点 \(i\) 移动到点 \(j(j>i)\) 的代价是 \((h_i-h_j)^2+C\)，其中 \(C\) 是给定的常数，求从点 \(1\) 移动到点 \(n\) 的最小代价。

思路分析

斜率优化 DP 板题。

设 \(f_i\) 表示从点 \(1\) 移动到点 \(i\) 的最小代价，容易列出状态转移方程：

\[f_i=\min_{j<i}(f_j+(h_i-h_j)^2+C)
\]

直接转移是 \(O(n^2)\) 的，考虑斜率优化：

\[\begin{aligned}f_i&=f_j+h_i^2-2h_ih_j+h_j^2+C\\(f_i-h_i^2)&=(f_j+h_j^2+C)-(2h_i)(h_j)\end{aligned}
\]

将第 \(i\) 个状态视为平面上的点 \((h_i,f_i+h_i^2+C)\)，问题转化为求斜率固定的直线的截距的最小值，考虑到 \(h_i\) 单增，故点的横坐标单增，斜率也单增。使用单调队列维护下凸壳即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N=200200;
#define int long long
#define y(i) (i[f]+i[h]*i[h]+C)
#define x(i) (i[h])
#define k(i) (2*i[h])

int n,C,hh,tt;
int q[N],f[N],h[N];

double slope(int i,int j){
    return 1.0*(y(i)-y(j))/(x(i)-x(j));
}

signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&C);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&i[h]);
    hh=1;tt=1;hh[q]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        while(hh<tt&&slope(hh[q],(hh+1)[q])<k(i)) hh++;
        i[f]=hh[q][f]+(i[h]-hh[q][h])*(i[h]-hh[q][h])+C;
        while(hh<tt&&slope(i,(tt-1)[q])<slope((tt-1)[q],tt[q])) tt--;
        (++tt)[q]=i;
    }
    cout<<n[f]<<'\n';
    return 0;
}