#扩展域并查集，线段树分治#CF576E Painting Edges

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题目翻译

• 给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图。
• 一共有 \(k\) 种颜色，一开始，每条边都没有颜色。
• 定义合法状态为仅保留染成 \(k\) 种颜色中的任何一种颜色的边，图都是一张二分图。
• 有 \(q\) 次操作，第 \(i\) 次操作将第 \(e_i\) 条边的颜色染成 \(c_i\)。
• 但并不是每次操作都会被执行，只有当执行后仍然合法，才会执行本次操作。
• 你需要判断每次操作是否会被执行。
• 数据范围：\(n,m,q \le 5 \times 10^5\)，\(k \le 50\)。
  
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解题过程

首先二分图即保证图中不存在奇环，这可以用带权并查集或扩展域并查集实现，需要带一个\(\log\)

这题比较巧妙的是执行后仍然合法才会执行本次操作，看起来像强制在线，

其实不然，如果不合法直接将后面的边所染的颜色修改即可

由于修改染色比较困难，考虑线段树分治，那么仅仅需要可撤销并查集即可，由于有\(k\)种颜色，要开\(k\)个并查集

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#define rr register
using namespace std;
const int N = 1000011;
vector<int>K[N << 1];
int stad[N], tad[N], stac[N], tac[N], tot, tod;
int X[N], Y[N], U[N], V[N], cad[N], cac[N], last[N], Q, n, m, k;
inline void update(int rt, int l, int r, int x, int y, int z) {//在子区间内插入操作
    if (l == x && r == y) {
        K[rt].push_back(z);
        return;
    }

    rr int mid = (l + r) >> 1;

    if (y <= mid)
        update(rt << 1, l, mid, x, y, z);
    else if (x > mid)
        update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, z);
    else
        update(rt << 1, l, mid, x, mid, z), update(rt << 1 | 1, mid + 1, r, mid + 1, y, z);
}
struct Union_Set {
    int f[N], dep[N];
    inline signed getf(int u) {//求子树的祖先
        return f[u] == u ? u : getf(f[u]);
    }
    inline void Merge(int col, int x, int y) {//合并两棵子树
        rr int fa = getf(x), fb = getf(y);

        if (fa == fb)
            return;

        if (dep[fa] > dep[fb])
            fa ^= fb, fb ^= fa, fa ^= fb;

        if (dep[fa] == dep[fb]) {
            stad[++tod] = fb, tad[tod] = dep[fb];
            ++dep[fb], cad[tod] = col;
        }

        stac[++tot] = fa, tac[tot] = f[fa], f[fa] = fb, cac[tot] = col;
    }
} T[51];
inline void dfs(int rt, int l, int r) {
    rr int len = K[rt].size(), Tot = tot, Tod = tod;

    for (rr int i = 0; i < len; ++i) {
        rr int t = K[rt][i];
        T[V[t]].Merge(V[t], X[U[t]] + n, Y[U[t]]),
        T[V[t]].Merge(V[t], X[U[t]], Y[U[t]] + n);
    }

    rr int mid = (l + r) >> 1;

    if (l == r) {
        rr int fa = T[V[l]].getf(X[U[l]]), fb = T[V[l]].getf(Y[U[l]]);

        if (fa == fb)
            puts("NO"), V[l] = last[U[l]];//这条边直接改
        else
            puts("YES"), last[U[l]] = V[l];//更新边的颜色
    } else
        dfs(rt << 1, l, mid), dfs(rt << 1 | 1, mid + 1, r);

    for (; tot > Tot; --tot)//撤销操作
        T[cac[tot]].f[stac[tot]] = tac[tot];

    for (; tod > Tod; --tod)
        T[cad[tod]].dep[stad[tod]] = tad[tod];
}
signed main() {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&k,&Q);
    for (rr int j = 1; j <= k; ++j)
        for (rr int i = 1; i <= n * 2; ++i)
            T[j].f[i] = i, T[j].dep[i] = 1;

    for (rr int i = 1; i <= m; ++i)
        scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]), last[i] = Q + 1;

    for (rr int i = 1; i <= Q; ++i)
        U[i] = iut(), V[i] = iut();

    for (rr int i = Q; i; --i) {
        if (i < last[U[i]] - 1)
            update(1, 1, Q, i + 1, last[U[i]] - 1, i);//注意i的位置只判定不修改

        last[U[i]] = i;
    }

    for (rr int i = 1; i <= m; ++i)
        last[i] = 0;

    dfs(1, 1, Q);
    return 0;
}