#正余弦定理#牛客练习赛71 B 烙印

题目

将三角形的六要素只留下三个已知条件，

问有多少种情况，多组询问

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分析

首先分类讨论一下（对新高一不友好，比如说我）。

前置知识：

1. 正弦定理:

\[\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2r(外接圆的直径)
\]

正弦定理的话应该可以通过做高或者外接圆证明，详见百度百科

1. 大边对大角，可以通过上面的正弦定理意会一下，三角形内角越大，
   
   那么它所对应的\(sin\)值越大，根据正弦定理可以知道它的对边也会越大，反过来显然
2. 余弦定理：

\[cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\
cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\
cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
\]

此证明详见百度百科，新高一什么都不会呢

然后具体分成如下四种情况，

1. 只知道三条边：两边之和均大于第三边为1，否则为0
2. 只知道三个角：三角形内角和是180度即无限种（相似三角形），否则为0
3. 只知道两个角，一条边：如果现在知道的两个角的和不小于180度为0，
   
   否则为1，因为三个角都能求出来，且知道一条边，可以通过大边对大角证明
4. 只知道一个角，两条边：
   
   (1). 如果这个角是夹角只有一种情况，根据余弦定理可以将第三条边求出来，
   
   并且转换成第一个问题，显然计算后两边之和均会大于第三边
   
   (2). 如果这个角不是夹角，那又要分类讨论:
   
   如果已知角是直角或者钝角根据大边对大角
   
   可以知道当已知角的对边长度不超过另一条边无解，因为三角形内角等于180度
   
   否则答案为1
   
   如果已知角是锐角，设已知的角为\(\angle A\)，它所对的边为\(a\)，并且另一条已知边为\(b\)
   
   首先可以根据正弦定理算出\(sinB\)，显然它是一个正数，由于\(sinB\)的值域应为\((0,1]\)
   
   超过值域无解，\(sinB=1\)（直角）只有一种情况，然后根据大边对大角，
   
   如果\(a>=b\)只有一种情况，否则有两种情况（一个锐角一个钝角）
   
   由于C++精度存在一定误差所以还要设置\(eps\)

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#define rr register
using namespace std;
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-8;
inline signed iut(){
    rr int ans=0,f=1; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) f=(c=='-')?-f:f,c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans*f;
}
inline void doit1(int a,int b,int A){
    rr double sinB=b*sin(A*pi/180)/a;
    if (A>=90){
        printf("%d\n",a>b);
        return;
    }else{
        if (sinB-1>eps) printf("0\n");
        else if (fabs(sinB-1)<eps) printf("1\n");
            else if (a>=b) printf("1\n");
                else printf("2\n");
        return;
    }
}
signed main(){
    for (rr int T=iut();T;--T){
        rr int a=iut(),b=iut(),c=iut(),A=iut(),B=iut(),C=iut();
        if ((~a)&&(~b)&&(~c)){
            if (a+b<=c||b+c<=a||a+c<=b) printf("0\n");
                else printf("1\n");
            continue;
        }
        if ((~A)&&(~B)&&(~C)){
            if (A+B+C!=180) printf("0\n");
                else printf("syksykCCC\n");
            continue;
        }
        if (a*b*c<0){
            if ((A>0&&b*c>0)||(B>0&&a*c>0)||(C>0&&b*a>0)) printf("1\n");
            else if (B>0&&b*c>0) doit1(b,c,B);
            else if (C>0&&b*c>0) doit1(c,b,C);
            else if (A>0&&a*b>0) doit1(a,b,A);
            else if (B>0&&a*b>0) doit1(b,a,B);
            else if (A>0&&a*c>0) doit1(a,c,A);
            else if (C>0&&a*c>0) doit1(c,a,C);
            continue;
        }
        if (A*B*C<0){
            if (B+C>=180||A+B>=180||A+C>=180) printf("0\n");
                else printf("1\n");
            continue;
        }
    }
    return 0;
}