【搜索】【约数个数定理】[HAOI2007]反素数ant

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。

所以，n以内的反质数即为不超过n的约数个数最多的数。

怎样计算约数个数？

约数个数定理：
对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
则n的正约数的个数就是（a1+1）（a2+1）（a3+1）…(ak+1) .
其中a1、a2、a3…ak是p1、p2、p3，…pk的指数。

 

所以，只需枚举一个数的所有质因数就行。

 

最多用到的 不同的 质因数 有多少呢？

 

∵2*3*5*7*11*13*17*19*23*29>2000000000

 

∴最多只用用到这么多不同的质因数。

 

搜索即可。

 

加两个剪枝：

①从小到大枚举质因数，不要让 顺序不同的 算作不同的方案。

 

②小的因数的指数必然大于大的因数的指数，

∵<1>约数个数相同时，小的数更优。

<2>大的数与小的数有相同的因数个数时，根据定义，大的数压根不是反质数了。

Code:

 #include<cstdio>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 const int prime[]={,,,,,,,,,,};
 int n,Time[],sum;
 long long ans;
 int Calc()
 {
     int res=;
     for(int i=;i<=;i++)
       res*=(Time[i]+);
     return res;
 }
 void dfs(long long now,int last)
 {
     if(now>n)
       return;
     int tmp=Calc();
     if(sum<tmp||(sum==tmp&&now<ans)){sum=tmp;ans=now;}
     for(int i=;i<=;i++)
       if(Time[i]<Time[i-]&&i>=last)
         {
             Time[i]++;
             dfs(now*prime[i],i);
             Time[i]--;
         }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     Time[]=;
     dfs(,);
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }