1.7 逆序数与归并排序[inversion pairs by merge sort]

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/inversion-pairs-by-merge-sort.html

【题目】

编程之美1.7光影切割问题可以进一步将问题转化为求逆序数问题。

【分析】

求解逆序对问题与MergeSort类似，只需要对MergeSort稍作修改即可实现。MergeSort是采用分治法的思想，若需要排序A[p...r]，则可以对半分成A[p...q]和A[q...r]，然后将这有序的两部分Merge，而Merge的过程为Θ(n)的时间复杂度。根据主定率T(n)=2(Tn/2)+Θ(n)，时间复杂度为T(n)=Θ(nlgn)。

同理，求整个序列中的逆序对，也可以利用分治法的思想，即

逆序对(A[p...r]）= 逆序对(A[p...q])+逆序对(A[q...r])+逆序对(A[p...q], A[q...r]之间）。

结合MergeSort，关键是如何在Θ(n)的时间有效的求出A[p...q], A[q...r]之间的逆序对。因为在合并排序的Merge过程中，A[p...q]和A[q...r]已经有序，假设此时已经Merge到A[i...q]和A[j...r]。考虑接下来的一步：如果A[i]<=A[j],说明A[i]比后面的序列A[j...r]中的元素都小，不存在逆序对；如果A[i]>A[j],，则说明A[j]比前面的序列A[i...q]都小，即以j结尾的逆序对的数量为前面的序列剩余序列A[i...q]中元素的数量。

Merge的过程中即可得到A[p...r], A[r...q]之间的逆序对的数量，时间复杂度亦为Θ(n), 由主定律总的时间复杂为 Θ(nlgn)，这种方法要比朴素的方法 Θ(n*n)好很多。

【MergeSort】

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

/*     version: 1.0     author: hellogiser     blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser     date: 2014/6/25 */ void merge(int *A, int p, int q, int r) {     //Li: p...q           Rj: q+1...r ;     ;     ];     ];     // copy L and R ; i < n1; i++)         L[i] = A[p + i];     ; j < n2; j++)         R[i] = A[q +  + j];     // mark end     L[n1] = INT_MAX;     R[n2] = INT_MAX;     ; // left ; // right ; // whole     for (k = p; k <= r; k++)     {         if (L[i] <= R[j])         {             A[k] = L[i];             i++;         }         else         {             // L[i]>R[j]             A[k] = R[j];             j++;         }     } delete []L;     delete []R; } void merge_sort(int *A, int p, int r) {     if (p < r)     {         ;         merge_sort(A, p, q);         merge_sort(A, q + , r);         merge(A, p, q, r);     } } void MergeSort(int *A, int n) {     merge_sort(A, ); }

[InversionPair]

inversionPair只需要在merge函数中增加3行代码记录即可。先将inversion_pairs初始化为0，当L[i]>R[j]时，更新inversion_pairs=inversion_pairs+（n1-i）,最后返回即可。同时在merge_sort中返回left_pair，right_pair和corss_pair之和即可。

 C++ Code 

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/*     version: 1.0     author: hellogiser     blog: http://www.cnblogs.com/hellogiser     date: 2014/6/25 */ int merge_pair(int *A, int p, int q, int r) {     //Li: p...q           Rj: q+1...r ;     ;     ];     ];     // copy L and R ; i < n1; i++)         L[i] = A[p + i];     ; j < n2; j++)         R[i] = A[q +  + j];     // mark end     L[n1] = INT_MAX;     R[n2] = INT_MAX;     ; // left ; // right ; // whole     //============================ ;     //============================     for (k = p; k <= r; k++)     {         if (L[i] <= R[j])         {             A[k] = L[i];             i++;         }         else         {             // L[i]>R[j]             A[k] = R[j];             j++;             //============================             inversion_pairs += (n1 - i);             //============================         }     } delete []L;     delete []R;     //============================     return inversion_pairs;     //============================ } int inversion_pair(int *A, int p, int r) {     if (p < r)     {         ;         //======================================         int left_pair = inversion_pair(A, p, q);         , r);         int cross_pair = merge_pair(A, p, q, r);         return left_pair + right_pair + cross_pair;         //======================================     }     else         ; } int InversionPair(int *A, int n) {     ); }

【链接】

http://www.cnblogs.com/bovine/archive/2011/09/22/2185006.html

http://blog.csdn.net/zhanglei8893/article/details/6230233

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